Впрямоугольном треугольнике кмн (кн - гипотенуза) проведены высота мс и медиана ма. отрезок мр делит угол сма пополам. доказать, что мр - биссектриса угла кмн.

1) рассмотрим кнм и снм -подобны по 2 углам н-общий , с=м=90* следовательно угк=угнмс

2)   рассмотрим кам -равнобедренный .( т.к центр описаной окр лежит на середине гипотенузы, то ак=ам=ан ) значт   угк=угкма     =угсмн

3) а т.к мр -бисс угамс , то акм+ммр=рмс+смн следоват кмр=рмн

На координатной плоскости взят треугольник с вершинами a(0, 0) b(3√3/2, 3/2) c(3, 0) это равносторонний треугольник со стороной 3. точки m(1, 0) n(√3, 1); удовлетворяют условию. прямая bm имеет уравнение y = 3√3(x - 1) (я не буду объяснять, как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. поскольку через две точки можно провести только одну прямую, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют обе точки, в данном случае y = 0 при x = 1 и y = 3√3/2 при x = 3/2; ) прямая cn имеет уравнение y = (√3/2)(3 - x); (при x = 1 y = √3) точка пересечения этих прямых p(p,q) находится так √3(3 - p)/2 = 3√3(p - 1); p = 9/7; q = 6√3/7; q/p = 2/√3; поскольку тангенсы угла наклона прямых ap 2/√3 и cn -√3/2 при умножении друг на друга -1, прямые эти взаимно перпендикулярны.

A) из симметрии всей этой "конструкции" mn ii ad; поэтому ∠kal = ∠mnk; но ∠mnk = ∠amk; (поскольку эти углы "измеряются" половиной дуги mk); то есть у треугольников akl и mal ∠alm общий, а ∠aml = ∠kal; следовательно эти треугольники подобны по двум углам. б) из той же симметрии следует ∠kal = ∠mda; => ∠mda = ∠aml; то есть получается, что есть еще один треугольник, подобный akl и mal - это треугольник amd; то есть al/am = am/ad; если обозначить p - точка касания ad с окружностью, то am = ap; и (опять таки - из симетрии : ) ) ap = ad/2; получилось am = ad/2; al = am^2/ad = ad/4; al/ad = 1/4; довольно странный результат - получается l - середина ap;