Впараллелограмме mnpq биссектриса угла m пересекает сторону np в точке a так, что an: ap=3: 2 найдите длину меньшей стороны параллелограмма, если его периметр равен 48 см

пусть сторона mn=x, тогда np=5x

p=2a+2b

48=2*x+2*5x

48=2x+10x

48=12x

x=4 - меньшая сторона

тогда 5*4=20 большая сторона

 

проверка: 48=2*4+2*10=8+40=48

 

меньшая сторона равна 4 см

. тк ma - биссектриса, то угол mna = углу amq. np параллельна mq, т.е. угол nam = углу amq (накрест лежащие), значит, треугольник mna - равнобедренный. обозначим na=3x=nm, ap=2x. периметр равен: 48 = 3х*2 + 5х*2 = 16х, х=3. значит, mn = 3x=9

Сделали построим so    пл. авс. sa, sb, sc - наклонные, а рав­ ные наклонные имеют равные проекции, поэтому ао=во = со; поэтому в пл. авсао = r,r- ра­диус описанной окружности. δавс  -  правильный;   про­ должим ао, со и во до пересе­чения их со сторонами треугольника. (из свойств правильного треугольника). соединим точки 5 и в, ах и 5, с\ и 5. линейный угол двугранного угла sacb. линейный угол двугранного угла sabc. - линейный угол двугранного угла sbca (по определению). δob1s = δoc1s = δoa1s - по двум катетам (ов1   = ос1   = оа1   = r, r - радиус вписанной окружности в δabc, so - общий катет), (из равенства треугольников). раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов. поэтому все двугранные углы равны. отыщем один из линейных углов двугранного угла, например,  двугранного угла sbca. пусть а - ребро тетраэдра, то имеем δbsc: sa1  =а sin 60°  δавс: оа1  δsa1o: cos φ  φ - острый угол. отсюда: φ =  ответ:   φ = 

Дано: в конус вписан шар;     h = oc = 8 мм;     ac = 10 мм найти: r - ? ;     длину линии касания для решения нужно провести сечение конуса по диаметру основания, в сечении будет равнобедренный δbca δaoc - прямоугольный. по теореме пифагора oa² = ac² - h² = 100 - 64 = 36 = 6² oa = 6 мм  δbca равнобедренный    ⇒      ba = 2·oa= 2·6 = 12  мм площадь треугольника площадь треугольника через радиус вписанной окружности 16r = 48      ⇒    r = 3 мм длина касания - это длина окружности               с центром в точке p и радиусом kp δdkc - прямоугольный, т.к. dk - радиус в точку касания k δboc подобен  δckd по двум углам, прямому и общему  ∠kcd δboc подобен  δkpc по двум углам, прямому и общему ∠kcd длина окружности с центром в точке р l = 2π·kp = 2·π·2,4 = 4,8π ответ: радиус вписанного шара  3 мм;                 длина линии касания 4,8π мм