Отрезки ef и pk пересекаются в их середине точке m. доказать: pe||kf.

доказательство: пусть отрезки efиkp пересекаются в точке m, тогда em=pm=km=fm т.к они пересекаются в середине, а углы eok=pof как вертикальные, поэтому треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.в равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому углы mpf и ekm равны, а это накрест лежащие углы при прямых ek и pf и секущей pk,значит, прямые параллельны по первому признаку параллельности прямых ч.т.д. .

Асдк - трапеция, основания ас=12 см и дк=4 см ав = 12-4 = 8 см ак = 12+4 = 16 см по пифагору вк² = ак²-ав² = 16²-8² = 256-64 = 3*64 вк = 8√3 см ∠вак = arccos(ав/ак) = arccos(1/2) = 60° ∠вка = 90 - ∠вак = 30° ∠дка = ∠вка + 90 = 120° полная площадь трапеции s(acdk) = 1/2(ac+dk)*bk = 1/2(12+4)*8√3 = 64√3 см² площадь сектора большого круга (серая штриховка) s₁₂ = πr²/360*α = π*12²*60/360 = π*12*12/6 = 24π см² площадь сектора малого круга (зелёная штриховка) s₄ = πr²/360*α = π*4²*120/360 = π*16/3 = 16π/3 см² и площадь странной фигуры около касательной s =  s(acdk) - s₁₂ - s₄ =  64√3 -  24π -  16π/3 см² s =  64√3 -  56π/3 см²

∆ авс вписанный, т.к. около него описана окружность. радиусом этой описанной  окружности, где о - центр, являются отрезки оа и ос.  

радиусу этой окружности равен радиус другой окружности, проходящей через точки а, с, о, 

следовательно, центр м этой второй окружности лежит на первой, отрезок  мо –  общий  радиус для обеих окружностей. 

мо=ао=ма -- четырехугольник амсо - ромб, а треугольник мао – равносторонний.⇒ 

угол  мао=60°

сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, 180°.

  ромб - параллелограмм. 

тупой  угол аос ромба равен  180°-60°=120° и является центральным для окружности, описанной около ∆ авс. 

вписанный угол в опирается на ту же дугу, что центральный аос и равен его половине. угол в=60°.