Точка m равноудалена от всех сторон правильного треугольника abc, сторона которого равна 4 см. расстояние от точки m до плоскости abc равно 2 см. 1)докажите, что плоскость amo перпендикулярна плоскости bmc (o-основание перпендикуляра, опущенного из m на плоскость abc) 2)найдите угол между плоскостью bmc и плоскостью abc. 3)найдите угол между mc и плоскостью abc.

Точка M равноудалена от всех сторон правильного треугольника ABC. Значит, проекции наклонных – расстояний от М до сторон основания, – равны радиусу вписанной в этот треугольник окружности, а все наклонные, соединяющие М и вершины углов основания равны и наклонены к  плоскости АВС  под одинаковым углом. Их проекции равны радиусу описанной вокруг основания окружности.  При этом МО - перпендикулярен плоскости основания и О - центр АВС. 

1) 

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. 

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.  

По т. о трех перпендикулярах  СВ перпендикулярен АН и МН, значит, СВ ⊥ плоскости АМН (АМО).

 Плоскость СМВ проходит через  прямую СВ,  перпендикулярную плоскости АМК. Следовательно, плоскости СМВ и АМО (АМН) перпендикулярны, ч.т.д.

2)

Угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС -  двугранный угол между ними. Его величина равна величине линейного угла МНО, образованного при пересечении этих плоскостей  перпендикулярной им плоскостью МНА (её перпендикулярность им доказана выше). 

МО=2.

ОН=r вписанной в АВС окружности. 

r=a/(2√3)=2/√3

tg ∠MHO=MO/OH=2:(2/√3)=√3- это тангенс 60º⇒

Угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС=60º

3)

 Угол между MC и плоскостью ABC также найдем через его тангенс. 

tg ∠MCO=MO/OC

MO=2

CО равно радиусу описанной вокруг правильного треугольника окружности:

OC=R =a/√3=4/√3

tg∠MCO=2:(4/√3)=√3/2= ≈0,866. что по таблице тангенсов является тангенсом угла ≈ 40º54'

Обозначь длину прямоугольника буквой х, тогда ширина его будет х-2. В твоем условии не понятно, длину какой стороны надо увеличить на 4 см, только длины, только ширины или и той, и той? Прочитай внимательно условие! Допустим, именно длину, тогда площадь увеличенного прямоугольника можно записать уравнением: (х+4)*(х-2)= 48, раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение: х2+4х-2х-8 = 48, х2+2х-52 = 0
(х2 - это х в квадрате). решив его , найдешь длину х, ширина, соответственно, на 2 см меньше. Если увеличены на 4 см обе стороны, то уравнение: (х+4)*(х-2+4) = 48, (х+4)*(х+2) = 48; х2+4х+2х+8 = 48;
х2+6х-40 = 0, в этом случае, D = 9 +40=49 (т.к. уравнение приведенное, а b -четное), х = 10см - это длина, ширина - 8см

ерез три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плосксть, притом только одну. Отсюда следует, что, так как вершина В треугольника не лежит в плоскости α, то плоскость треугольника не лежит в плоскости α, и его средняяо линия не лежит в той плоскости.  

Пусть М делит пополам сторону АВ, а N- делит пополам сторону ВС  

Отрезок MN-, соединяющий середины сторон треугольника, является его средней линией.  

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон,  параллельна третьей стороне и равна ее половине. (свойство средней линии)

По теореме о параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

MN не лежит в плоскости α и параллельна АС, лежащей в плоскости α. Значит, MN || α, что и требовалось доказать.  

Объяснение: