Найти площадь треугольника , высоты которого имеют длины 4, 7 и 10 с решением ,

я тут уже делал эту простенькую . эдесь у нет решения, я поэтому и делаю : )

 

надо выразить стороны треугольника через неизвестную площадь s и высоты

a = 2*s/4; b = 2*s/7; c = 2*s/10;

и подставить в формулу герона для площади

полупериметр равен 

p   = (a + b +c)/2 =  s*(1/4 + 1/7 + 1/10);

p - a =  s*(-1/4 + 1/7 + 1/10);

p - b =  s*(1/4 - 1/7 + 1/10);

p - c =  s*(1/4 + 1/7 - 1/10);

по идее осталось записать и вычислить s.

s^2 = p*(p - a)*(p - b)*(p - c) =  s^4*(1/4 + 1/7 + 1/10)*(-1/4 + 1/7 + 1/10)*(1/4 - 1/7 + 1/10)*(1/4 + 1/7 - 1/10);

к сожалению, p - a < 0, и у нет решения. это означает, что b + c < a, то есть нарушено правило треугольника (проверьте, 1/7 + 1/10 = 17/70 < 1/4 = 17/68) 

у ромба все стороны равны => 1 сторона = 85/4 = 21,25

диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам

примем 1 диагональ за 2х, а другую за 9х и рассмотрим прямоугольный треугольник аов

в нем гипотенуза = 21,25, а катеты 2х/2 и 9х/2

по теореме пифагора найдем катеты

х^2 + (4,5х)^2 = 21,25^2

х^2 + 20,25х^2 = 21,25^2

21,25х^2 = 21,25^2

х^2 = (21,25^2)/21,25

х^2 = 21,25

х = √21,25

1 диагональ = 2√21,25

2 диагональ = 9√21,25

площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту

площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

0,5 * 2√21,25 * 9√21,25 = 0,5 * 2 * 9 * 21,25 = 191,25

21,25 * h = 191,25

h = 191,25/21,25

h = 9

на сто­ро­не bc ост­ро­уголь­но­го треугольника abc (ab ≠ ac) как на диа­мет­ре построена полуокружность, пе­ре­се­ка­ю­щая высоту ad в точке m, ad = 32, md = 8, h — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка abc. най­ди­те ah.

решение.

проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. угол — вписанный, опи­ра­ю­щий­ся на диаметр, по­это­му он равен 90°. значит, точка пе­ре­се­че­ния пря­мых и — точка пе­ре­се­че­ния высот про­дол­жим вы­со­ту до пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью в точке получаем, что по тео­ре­ме о се­ку­щих получаем, что тре­уголь­ни­ки и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, откуда:

ответ: 30.