Треугольник авс, в котором угол а=45, ав=ас(2 под корнем), вписан в окружность радиуса 4, а хорда этой окружности, проходящая через вершину в и центр вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону ас в точкем.найдите площадь треугольника амв

для начала я сделаю вид, что не заметил вот это "(2 под корнем)" и найду стороны треугольника по теореме синусов, считая заданным радиус описанной окружности r = 4 и угол при вершине 45 градусов.

2*r*sin(45) = a; (а - основание вс, b обозначим ав= ас - боковая сторона; h обозначим ah - это высота к основанию вс, н - середина вс);

a = 4*√2;

здесь есть неясность. проще всего вычислить b так

2*r*sin((180 - 45)/2) = 8*cos(45/2); (аргументы тригонометрических ф-ций -   углы в гардусах).

cos(45/2) = x; 2*x^2 - 1 = cos(45) =  √2/2; x =  √(2 +  √2)/2; b = 4*√(2 +  √2);

но если надо, я могу вычислить эту величину без "сложной" тригонометрии.

пусть о1 - центр описанной окружности. тогда совсем легко увидеть, что угол во1н = 45 градусов. поэтому о1н = вн = а/2 = 2*√2; ah = h = r + o1h = 4 + 2*√2;

отсюда b = √((a/2)^2 + h^2) =    4*√(2 +  √2);

хорда вм является биссектрисой угла в (раз проходит через центр вписанной в авс окружности),  то есть ам/ас = ав/(ав + вс) = b/(a + b);  

но ам/ас = sabm/sabc; (это совершенно очевидно, но вот "доказательство", если нужно - пусть h1 - расстояние от в до ас. тогда sabc = ac*h1/2; sabm = am*h1/2; ну, и поделить одно на другое);  

sabm = sabc*b/(a + b);

теперь вычисление площадей.

sabc = a*h/2 = 4*√2*(4 + 2*√2)/2 = 8*(√2 + 1);

sabm =  8*(√2 + 1)*4*√(2 +  √2)/(4*√(2 +  √2) +  4*√2); много

можно немного запись, пусть p =  √2 + 1; тогда.

sabm = 4*√2*p(p -  √p);

 

Асдк - трапеция, основания ас=12 см и дк=4 см ав = 12-4 = 8 см ак = 12+4 = 16 см по пифагору вк² = ак²-ав² = 16²-8² = 256-64 = 3*64 вк = 8√3 см ∠вак = arccos(ав/ак) = arccos(1/2) = 60° ∠вка = 90 - ∠вак = 30° ∠дка = ∠вка + 90 = 120° полная площадь трапеции s(acdk) = 1/2(ac+dk)*bk = 1/2(12+4)*8√3 = 64√3 см² площадь сектора большого круга (серая штриховка) s₁₂ = πr²/360*α = π*12²*60/360 = π*12*12/6 = 24π см² площадь сектора малого круга (зелёная штриховка) s₄ = πr²/360*α = π*4²*120/360 = π*16/3 = 16π/3 см² и площадь странной фигуры около касательной s =  s(acdk) - s₁₂ - s₄ =  64√3 -  24π -  16π/3 см² s =  64√3 -  56π/3 см²

Площадь боковой поверхности правильного тетраэдра равна: sбок=(3/4)√3а2, где а- длина его стороны. 108√3=(3/4)√3а2. находим а=√(108*4/3)=√(36*4)=6*2=12 см. стороны ▲-ка дот равны половине а, то есть b=12/2=6 см радиус окружности вписанной в правильный ▲, равен; r=b/(2√3)=6/(2√3)=3/√3=3 см. радиус в точке касания делят окружность на 3 дуги, градусная мера которых составляет 360 градусов/3=120 градусов. площадь сектора, ограниченного двум радиусами, проведёнными в точке касания и другой окружности большей 180 градусов-это 2/3 площади круга: s=(2/3)nr2=n*(2*(√3)2/3=2n см2