Докажите, что биссектриса угла a треугольника abc проходит через точку пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов при вершинах b и c.

пусть биссектрисы внешних углов в и с пересеуаются в точке д. предположим что угол авс=gamma; а угол асв=betta; тогда угол свд=(пи/2-gamma/2); а угол bcd=(пи/2-betta/2); угол авд=(пи/2+gamma/2); угол асд= (пи/2+betta/2) .

тогда bd/sin(dab)=ad/sin(abd);   and cd/sin(dac)=ad/sin(dca);

bd/sin(dcb)=cd/sin(dbc)=> cd=bd*sin(dbc)/sin(dcb);

sin(dab)=bd*sin(abd)/ad ; sin(dac)=cd*sin(dca)/ad;         подставляем   

sin(dac)=bd*sin(dbc)*sin(dca)/(sin(dcb)*ad);

sin(abd)=sin(pi/2+gamma/2)=cos(gamma/2); sin(dbc)=sin(pi/2-gamma/2)=cos(gamma/2); sin(dca)=sin(pi/2+betta/2)=cos(betta/2); sin(dcb)=sin(pi/2-betta/2)=     cos(betta/2); подставляем

sin(dab)=bd*cos(gamma/2)/ad;

sin(dac)=bd*cos(gamma/2)*cos(betta/2)/(cos(betta/2)*ad);

сокращаем получаем sin(dac)=bd*cos(gamma/2)/ad=sin(dab)  ; => dab=dac 

1)решаем систему уравнений 2)составить уравнение окружности с центром в точке а(4; 5),которая касается прямой.    прямая не указана. поэтому неизвестен радиус  (х-4)²+(у-5)²=r² 3) точки пересечения  окружности  х²+у²=9   с осью абсцисс :   у=0  ⇒ х²+0²=9  ⇒х²=9  ⇒ х=-3  или х=3(-3; 0) и (3; 0)  с осью  ординат: х=0  ⇒ у²=9    ⇒ у=-3  или у =3(0; -3)  и (0; 3) 4) запишем уравнение прямой  3х-2у+5=0        в виде у= kx+b 3х-2у+5=0    ⇒параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.угловой коэфиициент  прямой уравнение всех прямых параллельных прямой    имеет вид чтобы найти значение параметра b принимаем во внимание тот факто, что прямая проходит через точку  (-2; 2)х=-2  у=2подставим в выражение b=2+3=5ответ. 5) х²+у²-4х+2у+1=0   чтобы найти центр окружности выделим полные квадраты: х²-4х+у²+2у+1=0 прибавим 4 слева и справа х²-4х+4+у²+2у+1=4(х-2)²+(у+1)²=4координаты центра окружности (2; -1)уравнение прямой имеет виду=kx+bточка  (1; 2) принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют уравнению2=k·1+b     (*) центр окружности   (2; -1) принадлежит прямой,  координаты удовлетворяют уравнению-1=k·2+b    (**)решаем систему двух уравнений (*) и (**): вычли из первого уравнения второе ответ. у=-3x-1

1. 4) такого тр-ка не существует, потому-что 5+9< 15, а с таким отношением тр-ник построить нельзя. 2. пусть боковые стороны будут a=х и b=х-3. так как высота делит тр-ник на два прямоугольных тр-ка  и она для них общая, то по т. пифагора можно записать ур-ние: х²-10²=(х-3)²-5², х²-100=х²-6х+9-25, х=14, а=14 см, b=14-3=11 см, c=5+10=15 cм. р=14+11+15=40 см. ответ: б) 40 см. 3. авсд - ромб,  ∠а=60°, ав=ад, значит авд - правильный тр-ник. в нём ао - высота. ао=ав√3/2, ас=2ао=ав√3  ⇒ ав=ас/√3. ав=4√3/√3=4 см. периметр ромба: р=4ав=16 см. ответ: а) 16 см.