Вромбе авсд диагонали ас и вд относятся как 4: 3. через точку пересечения диагоналей проведена высота mn (m - принадлежит ад, n - принадлежит вс во сколько раз площадь ромба больше площади треугольника anm?

tg угла dас = 3/4 => обозначим mn/2   = 3x , am = 4x. tg угла bda=4/3 => обозначим               мn/2 = 4y, dm=3y; =>   3x=4y   => y=(3/4)x => dm=3y=(9/4)x=> da=dm+am=(25/4)x;   площадь abcd=ad*mn=(25/4)x*mn; площадь amn = 4x*mn/2=>                                                                 s1/s2 =(25/4)x/(2x)=> 25/8 

раз верхнее основание трапеции равно половине нижнего, и диагонали перпендикулярны сторонам, то треугольник, их которого получена эта трапеция усечением - равносторонний, а малое основание в нем - средняя линяя. : (боковые стороны перпендикулярны медианам, проведенным к ним)

осталось вот что:  

по условию, (1/3)*pi*r^2*h = 64*pi;   r^2*h = 64*3 = 192;

применительно к правильному треугольнику н - высота, r - половина стороны.

r*корень(3) = h; (r^3)*корень(3) = 192;   r^3 = 4^3*корень(3)

что то не похоже, что тут будет красивый ответ. r = 4*3^(1/6); r = 2*3^(1/6)

итак, у нас есть 43угольник, составленный из отрезков, соединяющих центры (длины 3). радиус окружности, описанной вокруг этого 43угольника, равен (d+3)/2, где d - искомый диаметр. 

рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный стороной многоугольника длины 3 и двумя радиусами (длины  (d+3)/2). угол при вершине 360/43 (градусов);

легко видеть, что (3/2)/((d + 3)/2) = sin(360/(2*43)) (это обычная связь между половиной основания и боковой стороной в равнобедренном треугольнике - их отношение равно синусу половины угла при вершине);

итак, 3/(d+3) = sin(180/43); d = 3*(1/sin(180/43) - 1);

это можно вычислить только приближенно.

d =  38,0985282265883 (точнее не смог :