Точки A, B, C, D не лежать в одній площині, точки K, L, M, N - середини відрізків AD, DC, вс і АВ відповідно. Знайдіть периметрчотирикутника KLMN, якщо AC = 15 см, DB = 25 см.​

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

пирамида КАВС, К-вершина, АВС-равносторонний треугольник АС=8, О-центр основания-пересечение медиан=высот=биссектрис, КО-высота пирамиды, проводим высоту АН на ВС, уголКАО=60,

АН=АС*sin60(уголС)=8*корень3/2=4*корень3, АО=2/3АН (медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/1, начиная от вершины), АО=4*корень3*2/3=8*корень3/3,

треугольник АКО, КО=АО*tg60 (уголКАО)=8*корень3*корень3/3=8 -высота пирамиды, АК=АО/cos60=(8*корень3/3)/(1/2)=16*корень3/3=СК=ВК,

проводим апофему КН, СН=ВН=ВС/2=8/2=4, треугольник КСН прямоугольный, КН=корень(СК в квадрате-СН в квадрате)=корень(768/9 -16)=4*корень39/3

площадьАВС=АС в квадрате*корень3/4=64*корень3/4=16*корень3

площадь боковая=1/2*периметрАВС*КН=(1/2)*3*8*(4*корень39/3)=16*корень39

площадь полная=площадьАВС+площадь боковая=16*корень3+16*корень39=16*(корень3+корень39)=16*корень3*(1+корень13)