Вравно бедренном треугольнике авс с основанием ас биссектрисы углов а и с пересекаются к точке о докажите что треугольника аос также равнобедренный

биссектрисы углов а и с пересекаются ровно в середине т.к треугольник равнобедренный, из этого следует что ао и со равны а как следствие треугольник аос равнобедренный

Решение задачи ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1

НАЙТИ: p ( A ; CB1 )

1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.

Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.

Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный

Найдём все стороны ∆ АВ1С

2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):

По теореме Пифагора:

АВ1² = АВ² + ВВ1²

АВ1² = 1² + 1² = 2

АВ1 = √2

АВ1 = В1С = √2

3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.

Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):

По теореме косинусов:

АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC

AC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120°

AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3

AC = √3

4) B1B перпендикулярен ВН

ВН перпендикулярен АС

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АС

Высота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>

АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/2

5) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):

По теореме Пифагора:

В1С² = В1Н² + НС²

В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4

В1Н = √5/2

Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С )

6) Найдём площадь ∆ В1АС:

S b1ac = 1/2 × AC × B1H

С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AM

Приравняем площади и получим:

1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМ

АС × В1Н = В1С × АМ

Раз в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных её сторон равны. bc = cm = lb = bn и bs = sa = an = nd = dg, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны. опустим два перпендикуляра к большему основанию ad. обозначим их за be т fc. внутри трапеции образовался прямоугольник befc => bc = ef = 2m. тогда ae + fd = 2n - 2m. ab = cd be = cf угол aeb = углу dfc = 90° значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе. из равенства треугольников => ae = fd. значит, ae = fd = 1/2(ae + fd) = 1/2•(2n - 2m) = n - m. по теореме пифагора: be = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn. значит, высота трапеции равна 2√mn. площадь s трапеции равна: s = 1/2(bc + ad)•eb s = (m + n)•2√mn.