Через точку пересечения биссектрис вв1 и сс1 треугольника abc проведена прямая, паралельная прямой bc и пересекающая стороны ab и ac соответсвено в точках m и n . докажите, что mn=bm+cn

треугольник авс, точка о - пересичение биссектрис вв1 и сс1

треугольники мос1 и   nос равнобедренные

угол осв = углу соn как внутренние раносторонние при параллельних прямых вс и мn и секущей сс1 и равен углу   nсо

угол овс = углу вом как внутренние раносторонние при параллельних прямых вс и мn и секущей вв1 и равен углу    вом

    nс =  nо, мв=мо

  nм=  nс+мв

треугольник основания - тупоугольный, ⇒ центр описанной вокруг него окружности лежит вне его плоскости. 

если все ребра пирамиды наклонены к основанию под равным углом, их проекции равны радиусу описанной окружности, следовательно, равны между собой.   

по т.синусов 2r=a/sin150°=2а.  ⇒ r=а. 

обозначим центр описанной окружности о. 

тогда в прямоугольном ∆ амо ∠мао=45°, и ∠амо равен 90°-45°=45°. ∆ амо равнобедренный ⇒мо=ао=r. высота мо=r=a.

рисунок для наглядности  дан не совсем соразмерным условию. 

Рассмотрим  δabh. он прямоугольный (bh - высота) найдём  ∠bah = 90° - ∠abh = 90° - 40° = 50° ∠abc =  ∠abh +  ∠hbc = 40° + 10° = 50° ∠bah =  ∠abc = 50°  ⇒  δabc - равнобедренный. угол  ∠bch из  δbch = 90° -  ∠hbc = 90° - 10° = 80° cd - высота, проведённая к ab ab в  δabc является основанием  ⇒ cd не только высота, но и биссектриса  ⇒  ∠bcd =  ∠dca = 80°/2 = 40° рассмотрим  δboc. ∠bcd =  ∠bco = 40° ∠hbc = ∠obc =  10° сумма углов треугольника равна 180°  ⇒  ∠boc +  ∠obc +  ∠bco = 180° ∠boc + 40° + 10° = 180° ∠boc = 180° - 50° ∠boc = 130°