На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке o. докажите, что co – биссектриса прямого угла с.

вот такое нахальное решение. ну уж простите : )

пусть катеты a и b, гипотенуза с. я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая   отрезок а от вершины. 

(пояснение.

построенный со стороной (a + b) с вершинами аbcd, а - "левая нижняя" вершина. от а вверх - вдоль ав, откладывается а, потом от в вправо - вдоль вс откладывается а, потом от с вниз, вдоль cd, откладывается а, и от d вдоль da откладывается а.)

все эти точки соединяются.

получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).

ясно, что центры этих квадратов . это автоматически доказывает то, что надо в .

 

(если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство. 

на самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. этих треугольников там даже четыре, а не один : ), можно любой выбрать за исходный.)

Пусть в равнобедренном треугольнике авс основание  ас, медиана ак. вк = ск. по условию ав+вк = 15 см,                                 ас+ск = 8 см. вычтем из первого уравнения второе:                                 ав-ас = 7 см. то есть, боковые стороны равны ас+7 см. периметр треугольника равен 15+8 = 23 см. он равен ас+2(ас+7) и приравняем его 23 см. 3ас+14 = 23, ас = (23-14)/3 = 9/3 = 3 см.

Пусть х см - одна часть. тогда стороны треугольника равны 5х см, 12х см и 13х см соответственно. исходя из всех условий, составим уравнение 5x = 13x - 1,6 8x = 1,6 x = 0,2 значит, одна часть равна 0,2 см. теперь найдём все стороны: 0,2*5см = 1 см 0,2*12см - 2,4 см 0,2*13см = 2,6см найдем косинус большего угла: (2,4² +1  - 2,6²)/2*2,6*2,4 = (5.76 + 1 -6,76)/2*2,6*2,4 = 0 значит, больший угол треугольника равен 90°. тогда данный треугольник - прямоугольный => его площадь равна половине произведения его катетов. s = 1/2*2,4*1см² = 1,2 см². ответ: s = 1,2 см².