Сторона ромба 6√3 см а острый угол равен 60°. найти длину диагонали ромба и радиус окружности вписанной в ромб

рассмотрим треугольники на которые ромб делится диагоналями.

против угла в 30° катет равный половине стороны. диагональ в 2 раза длинее.

d=6√3см, второй катет d/2=√(6√3)²-(3√3)² =  √108-27=√81=9 cм

d = 18 cм

для определения радиуса вписанной окружности найдем высоту маленького треугольника через его площадь

s =  √p(p-a)(р-b)(p-c), где р - полупериметр   p=(9+3√3+6√3)/2 = 4,5+4,5√3

s=√(4,5+4,5√3)(4,5+4,5√3-3√3)(4,5+4,5√3-6√3)(4,5+4,5√3-9)=√(4,5+4,5√3)(4,5+1,5√3)(4,5-1,5√,5+4,5√3) =  √(60,75-20,25)(20,25-6,75) =√40,5*13,5 =√546,75

r = s/a = √546,75/(6√3) = 13,5/6 = 2,25 cм

 

 

 

так как диагональ ромба делит угол пополам то угол, состовляющий часть угла 60 градусов раен 30 градусов. в этом треугольнике гипотенуза равна 6 sqrt(3). а соторона против 30 градусов равна половине гипотенузы то есть 3sqrt(3). значит диагональ равен 6sqrt(3)(можно было заметить что треугольник с углом 60 градусов теперь найдем вторую диагональ d. по теореме пифагора d= корень(108-27)=корень(81)=9. значит диагональ равен 18.

по формуле r=d1d2/4a=9*6корень(3)/24корень(3)=9/4=2,25

Обозначим треугольники буквами авс и а1в1с1. причем вс=42 см, ас=14 см, ав=40 см. т.к. треугольники подобны, то вс: в1с1=ас: а1с1. с другой стороны а1с1+в1с1=108. отсюда а1с1=108-в1с1. подставим в первую формулу вместо а1с1 выражение 108-в1с1. получим   вс: в1с1=ас: (108-в1с1). решаем ас*в1с1=вс*(108-в1с1). для удобства записи пусть в1с1=х, тогла 40х=42(108-х). получаем х=27=в1с1. коэффициент подобия этих треугольников=вс: в1с1=42: 27=14: 9. т.к. треугольники подобны, то ас: а1с1=14: 9. отсюда а1с1=9*ас/14=9 см. ав: а1в1=14: 9. отсюда а1в1=9ав/14= целое не выходит. периметр это сумма длин всех сторон треугольника.

По т. пифагора c^2 = a^2 + b^2                           20^2 = 16^2 + a^2                             400 = 256 + a^2                             a^2 = 144                               a = 12 s = 0,5·12·16 = 96 (кв.см)