Составить и решить из жизни по , по правилам треугольника

маша и даша пошли погулять, поругались и пошли в разные стороны, маша пошла на север со скорсть 4кпм/ч, даша на восток со скоростью 3 км/ч. на каком расстоянии они окажутся через час. 

для решения рассматривается прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 4 значит гипотенуза 5. ответ на расстоянии 5 км

 

 

 

Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. при этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b> c, b+c> a и a+c> b. и необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ.  теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. то есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).  из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α  например, пусть a=3, b=7, c=6. тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.  эту же можно решить другим способом через площадь треугольника. сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. затем посчитайте площадь треугольника по формуле герона s=√(p×(p−a)×(p−b)×(p− то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника.  с другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. получается s=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×s÷(a×b); sin(β)=2×s÷(b×c); sin(γ)=2×s÷(a×c). таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α  например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь s=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.

4. треугольники bmn и bac подобны (кажется по 2 признаку : -) ) отсюда находим mn bn/mn=bc/ac    15/mn=20/15 mn=(15*15)/20=11.25 5. один из углов равен 45°, значит треугольник прямоугольный равнобедренный - третий угол также равен 45° и катеты соответственно равны. находим их по теореме пифагора. 2*ac²=8² 2*ac²=64  ac²=32 ac=4√2 в прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой, т.е. делит гипотенузу пополам. отсюда находим высоту сd по теореме пифагора. ac²-ad²=cd²  (4√2)²-4²=32-16=16=cd²      →    cd=4 6. угол а равен 60°, следовательно угол в равен 30°. по теореме синусов находим второй катет ас. ас/sin30°=bc/sin60° ac=(bc/sin60°)*in30°=6√2*0.5=3√2. по теореме пифагора находим гипотенузу ав. ав²=ac²+bc²=18+36=54 ab=√54=√9*√6=3√6 площадь прямоугольного  треугольника равна половине произведения катетов, т.е. s=0.5*(6*3√2)=0.5*18√2=9√2 высоту, опущенную из вершины с (например cd), можно найти из другой формулы нахождения площади треугольника: площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону, т.е. s=0.5*ab*cd    9√2=0,5*3√6*cd отсюда cd=9√2/(0,5*3√6)=2√3