Діагоналі прямокутника mnpk перетинаються в точці о. знайдіть периметр трикутника mon, якщо кут pmk - 30 градусів , pk=8см.

угол рмn=90-30=60, тогда треугольник моn, кроме того,что равнобедренный,т.е. мо= nо, как половины равных диагоналей, еще и равносторонний, т.к. все углы равны по 60град.

ведь углы nи м- это равные углы при основании этого треугольника. а раз так, то все стороны равны между собой, nм=кр=8 см по условию.

значит, периметр равен 3*8=24 /см/

Решение : решение пусть в выпуклом четырехугольнике abcd ав + cd =вс +ad. (1) точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd. предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем: правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать. 

Пусть e - точка пересечения прямых bc и ad. если е не совпадает с d (на чертеже изображен как раз один из таких случаев), то прямоугольные треугольники bed и ced равны по гипотенузе и катету: bd=cd по условию, а ed - общий катет. отсюда ∠bde=∠cde, а т.к. точки a,d,e лежат на одной прямой, то и ∠bda=∠cda.  (заметим, что если е совпала с d, то равенство углов ∠bda и ∠cda следует сразу из условия, т.к. bc⊥ad). далее, треугольники bda и cda равны по сторонам и углу между ними (ad - общая, bd=cd по условию, ∠bda=∠cda доказали выше), а значит, ab=ac, что и требовалось.