Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, один из катетов равен 5. найдите второй катет, высоту, проведённую из вершины прямого угла, и отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу.

1) по теореме пифагора находим второй катет √(13² - 5²) = √144 = 12

2) теорема (о соотношениях в прямоугольном треугольнике): в прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:                           1) h²  = a1 · b1; 2) b²  = b1 · c; 3) a² = a1 · c,                      где b1 и a1 - проекции катетов b и a на гипотенузу.

отсюда, b1 = b²/c = 25/13 и a1 = a²/c = 144/13 и h =  √(b1·a1) = 60/13

 

ответ:   b1 = 25/13

            a1 = 144/13

            h =   60/13 

 

 

 

 

Биссектрисы внутренних односторонних углов взаимно перпендикулярны, поэтому этот четырехугольник - заведомо прямоугольник. чтобы он был квадратом, достаточно доказать равенство смежных сторон.  квадрат отличается от прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей.  у полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через  середины противоположных сторон  исходного прямоугольника.  поскольку исходный прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и полученный при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей.  значит,  это квадрат. 

Постройте рисунок, будет нагляднее. пусть трапеция abcd, bc - меньшее основание, ad - большее, ab - боковая сторона с прямыми углами. тогда углы adc и acb по условию равны и равны 60 градусов. средняя линия равна полусумме оснований, т.е. (bc+ad)/2. надо найти её отношение к bc, а значит выразить ad через bc или наоборот. если угол acb равен 60 градусов, то и угол cad тоже (не помню верный термин, но потому что ad и bc параллельны). раз adc и cad равны 60, то и acd равен 60, а значит треугольник acd - равносторонний. сторона cd, таким образом, равна ad (и равна ac, но это, как мы увидим, неважно). опустим из точки c перпендикуляр к основанию ad, допустим в точку h. если угол cdh равен 60 градусов, то угол dch будет 30 градусов. известно, что против угла в 30 градусов лежит сторона, равная половине гипотенузы. гипотенуза - cd, и мы узнали что она равна ad. то есть dh = 1/2 cd = 1/2 ad, или, иначе говоря, этот перпендикуляр делит нижнее основание пополам. в то же время ah = bc, то есть bc = 1/2 ad, или ad = 2 bc мы выразили одно основание через другое, подставляем в искомое соотношение: ((bc + ad)/2 ) / bc = (bc + 2 bc) / 2bc = 3/2 спрашивайте, если что непонятно