:(! высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. найдите площадь поверхности пирамиды.

вершина правильной треугольной пирамиды проецируется на основание (правильный треугольник) в точку пересечения высот (и медиан, и биссектрис). эта точка деит их в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника.

так как угол при стороне основания равен 45°, то меньшая часть высоты основания равна h, а вся высота 3h. отсюда сторона основания равна a v((3h)^2 +(a/2)^2) = 3v2h.

площадь основания s1 = 1/2*a*h =1/2*(3v2h)*3h = 9h^2/v2.

площадь боковой поверхности пирамиды равна sb = 3*1/2*(3v2h)*(hv2) =9h^2.

площадь поверхности пирамиды. s = s1 + sb =9h^2(1+v2) / v2/

1. по теореме пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы⇒ гипотенуза²=16²+30²  ⇒ гипотенуза=√16²+30² =√256+900 =√1156=34 2. по теореме пифагора решаем:   а) 9²+8²=15²; 81+64=225; 145≠225⇒треугольник не является прямоугольным   б) 12²+16²=20²; 144+256=400; 400=400⇒треугольник является прямоугольным 3.  т.к. диагональ делит прямоугольник на 2 прямых треугольника  ⇒ диагональ  является гипотенузой(ас), а известная сторона является одним из известных катетов(вс)⇒ по теореме пифагора ас²=вс²+ва²  ⇒ ва²=ас²-вс²; ва=√ас²-вс²; ва=√26²-24²; ва=√100; ва=10

Через вершину c меньшего основания bc трапеции abcd (bc = 13, ad = 7, ac = 16, bd = 12) проведём прямую, параллельную диагонали bd, до пересечения с прямой ad в точке k. в треугольнике ack ac = 16, ck = bd = 12, ak = ad + dk = ad + bc = 7+13= 20. поскольку ak^2 = ac^2 + ck^2, то треугольник ack — прямоугольный. его площадь равна половине произведения катетов, т.е. s ack=1/2*16*12=96 площадь трапеции abcd равна площади этого треугольника, т.к. равновелики треугольники abc и cdk (bc = dk, а высоты, опущенные на эти стороны, равны высоте трапеции). ответ: 96