Впрямоугольном треугольнике авс(угол с=90) проведена высота сd так, что длинна отрезка bd на 4 см больше длины отрезка cd, ad=9см. найдите стороны треугольника abc. в каком отношении cd делит площадь треугольника abc?

Пусть сд=х; вд=х+4; ад=9 х"2=9*(х+4); х"2-9х-36=0; наход: х=12 значит: сд=12; вд=16; ав=25 (примен. теор. высоты) по теор. катета: вс"2=ав*вд; вс"2=25*16; вс=20 ас"2=ав*ад=25*9; ас=15. s(адс)/s (сдв)=(1/2*ад*дc)/(1/2*вд*дс)=9/16 "-в квадр.

Пусть данный треугольник - abc, у которого угол b прямоугольный, а квадрат bdef, точка d лежит на стороне ab, точка e лежит на стороне bc, а точка f на гипотенузе. таков рисунок, в котором два треугольника ade и cef подобны треугольнику abc( по двум углам), что значит если сторона квадрата x, то 5/12(отношение катетов)=cf/ef=5-x/x из этого уравнения находим x, и умножаем на 4, получаем ответ - 14 целых 2/17см.         есть второй вариант без подобия, по теореме пифагора вычисляем длину гипотенузы -  13см. гипотенуза так же равна сумме отрезков ae и ce, которые можно тоже вычислить по теореме пифагора.то есть получаем: .

Если по простому пересказать условие - то биссектрисы двух разных треугольников делят противолежащие стороны в равных отношениях. обозначим отношение, в котором биссектрисы делят стороны как z z =  ae/ec = a1e1/e1c1  но согласно теореме о биссектрисе противоположная сторона делится пропорционально прилежащим ba/ae = bc/ec ae = z*ec ba/(z*ec) = bc/ec ba/bc = z или ва = z*bc (1) т.е. сами прилежащие к углу в стороны в треугольнике авс относятся как z анатигично показывается, что и  b₁a₁/b₁c₁ = z или в₁а₁ = z*b₁c₁ (2) разделим выражение (2) на выражение (1) в₁а₁/ва = z*b₁c₁/(z*bc) = b₁c₁/bc т.е. треугольники подобны по второму признаку подобия - равный угол и пропорциональные две стороны.