Середины сторон некоторого четырехугольника являются вершинами другого четырехугольника. найдите петиметр второго четырехугольника, если диагонали первого четырехугольника равны 18 и 32.

рассмотрим треугольник авс: ef - средняя линия  ⇒ ef = 1/2 ac

рассмотрим треугольник аdc: hg -  средняя линия  ⇒ hg = 1/2 ac

рассмотрим треугольник dcb: fg -  средняя линия  ⇒fg = 1/2 db

рассмотрим треугольник dab: he -  средняя линия  ⇒ he = 1/2 db

1/2 ac +  1/2 ac +  1/2 db +  1/2 db = ac + bd = 18+32=50

ответ: 50

пусть первый четырехугольник: авсд, середины сторон соответственно:

а - ав, в - вс, с - сд, д - да,

т.е. аа=ав, вв=вс, сс=сд, дд=да

известны длины диагоналей ас = 18 и вд=32, надо найти периметр четырехугольника авсд.

 

1) нарисуй чертеж - и посмотри на треугольники авс и авв.

у них:

- углы авс и авв равны (это один и тот же угол - в),

- стороны ав и вс пропорциональны ав и вв (ав=1/2 ав, а вв=1/2вс),

значит, треугольники подобны и, соответственно, ав = 1/2 ас = 9,

а также равны углы вав=вас, вва=вса - следовательно стороны ав и ас - параллельны.

2) аналогично треугольники адс и ддс - они тоже подобны,

и, соответственно, стороны дс и ас параллельны и да=1/2 ас,

и, вспомнив 1) - находим, что ав параллельно дс и ав=дс=1/2 ас

3) аналогично рассмотрим треугольники всд и всд - аналогично докажем, что они тоже подобны и найдем, что вд параллельно вд и вд=1/2 вд,

а также подобны треугольники вад и аас, и соответственно, получим, что вд параллельно ас и ас=1/2вд

следовательно ас параллельно вд и ас=вд=1/2 вд=16

 

4) т.е. мы увидели, что малый четырехугольник у нас - параллелограмм (это, в принципе, не важно, но красиво), но главное - мы знаем все его стороны: 9,16,9,16, соответственно, периметр равен

ав+вс+сд+ад=50

высота равнобедренного треугольника, проведённая с вершины равнобедренного является также и биссектрисой и делит угол при вершине на два одинаковых угла (β/2). тогда угол при основании равен (90°-β/2) -по свойству острых углов прямоугольного треугольника. рассмотрим треуг. с катетом h (данная в условии высота), гипотенузой, которая есть основанием данного равнобедренного треугольника. гипотенуза прямоугольного треугольника равняется отношению катета к синусу противолежащего угла, тогда основание =h/(sin(90°-β/2)) =h/cos(β/2) ответ: h/cos(β/2)

трикутники, утвореннi основами, подiбнi за двома кутами (вертикальнi кути рiвнi, внутрiшнi рiзностороннi кути при паралельних основах та сiчноi (дiагональ) рiвнi. за умовою менша основа удвiчi менше за бiльшу, тобто коеф. подiбностi 1/2. висота верхнього трикутника це висота верхньоi трапецii, висота нижнього трикутника це висота нижньоi трарецii. вiдношення цих висот 1/2. а висота данноi трапецii це сума висот. вона маэ 3 частини (1+2). звiдси маэмо вiдношення 1/3, та 2/3. зробите малюнок та по тексту зробите запис.