1. основанием пирамиды mabcd является квадрат abcd, ребро md перпендикулярно к плоскости основания, ad = dm = a. найдите площадь поверхности пирамиды. 2. основанием прямого параллелепипеда abcda1b1c1d1 является параллелограмм abcd, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью авс1 и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

1) a^2( 2+2^(1/2) )  2) a) (a * 2^(1/2))/2  б) 45  в) 4*a^2  г) 2*2^(1/2)*a^2  p s 2^(1/2) это корень из двух

прямоугольный тр-к вписан в окружность - это значит, что прямой угол опирается на диаметр окружности и гипотенуза этого тр-ка и есть диаметр.

найдём гипотенузу. пусть гипотенуза с = 5х, тогда в силу условия, что гипотенуза и катет относятся как 5: 4, катет равен  а = 4х, второй катет в = 16см.

по теореме пифагора

с² = а² + в²

25х² = 16х² + 16²

9х² = 16²

3х = 16

х = 16/3

тогда гипотенуза с = 5х = 5· 16/3 = 80/3(см)

это диаметр, а радиус равен половине диаметра: r = 80/3 : 2 = 40/3(cм)

или 13cм.

1 

таким же образом, используя формулу    для площади треугольника, можно доказать и теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).

если aa1  ¾  биссектриса угла a треугольника abc, то

ba1  : a1  c = ba : ac.

доказательство.  пусть угол при вершине a в треугольнике abc равен 2a. рассмотрим треугольники baa1  и caa1  (см. их площади относятся как отрезки ba1  и a1c, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.

 

 

2 

свойства углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию между собой. центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства). признаки два угла треугольника равны. высота совпадает с медианой. высота совпадает с биссектрисой. биссектриса совпадает с медианой.

пусть  a  — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника,  b  — длина третьей стороны,    — соответствующие углы,  r  — радиус описанной окружности,  r  — радиус вписанной окружности.