Кути чотирикутника відносятся як 1: 2: 3: 4.знайти найменший чотирикутник.

1+2+3+4=10

10 поділити на 4=25.

Δabc _ остроугольный     ah   ┴  bc  ;   hk  ┴  ab   ; hl  ┴  ac .   четырехугольник   bklc       вписанный   > ? < akh   + < alh =90° +  90° =180°   значит около   четырехугольника        akh l  можно описать окружность  (центр в   середине гипотенузе    ah ) .   < c +  < lkb = < c +< lkh +< bkh =  < c +< lkh +90° =  < c +< lah +90° =90° +90° =180°   (< lkh =< lah   как   вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу  (hl)  . следовательно  около   четырехугольника        akh l  можно описать окружность т.е.   четырехугольник   bklc      вписанный  .

Составим уравнения прямых ав и сд 1) прямая ав проходит через точки а (8; -3) и в(2; 5) у = кх + в подставляем координаты точек а и в и получаем систему уравнений -3 = к·8 + в 5 = к· 2 + в вычтем из 1-го уравнения 2-е и найдём к -8 = 6к > к = -4/3 длина отрезка ав равна ав = √[(2 - 8)² + (5 - (-3))²] = 10 для противоположной стороны сд проделываем те же действия у = кх + в подставляем координаты точек с и д 11 = к·10 + в 3 = к· 16 + в вычитаем из 1-го уравнения 2-е 8 = -6к > к = -4/3 длина отрезка сд равна сд = √[(3 - 11)² + (16 - 10)²] = 10 поскольку угловые коэффициенты (к = -4/3) одинаковые у прямых ав и сд,   то ав//сд (параллельны! ) длины отрезков ав и сд также одинаковы ав = сд = 10 по известной теореме : если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм, что и требовалось доказать