Точки м и к делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 11 и 9. мр - диаметр окружности. вычислите градусные меры углов треугольника мкр.

все мы знаем, что окружность состовляет 360 град ;

9/11   (всего 20 частей)(дуга) 9 = 9/20*360=162 (градусов)(дуга) 11 =11/20*360=198  (градусов) - вершина n - лежит на окружности- сторона mp- совпадает с диагональюпо свойству прямоугольного треугольника , вписанного в окружностьтреугольник мnp - прямоугольный.(угол)mnp=90  (градусов)

(вписаный угол) mpn опирается на дугу mn=162 (градусов) градусовпо свойству вписанного угла: (он равен половине дуги, на которую опирается)

(угол) mpn=1/2*162=81  (градусов)

(угол)  nmp=90- < npm=90-81=9   (градусов)ответ углы 90 ; 81; 9  (градусов)

Рисуем окружность. из точки а проводим две хорды аl и ак. проводим их под углом в 90 градусов друг к  другу с общей вершиной а. далее из центра окружности опускаем перпендикуляр ов  "расстояние" к хорде аl =6 см и перпендикуляр   од  10 см. к хорде ак. получаем прямоугольник авод со сторонами 6 и 10 см., одна из вершин которого приходится на центр окружности о.  проводим радиусы к точкам хорды а и к на окружности.получаем отрезки оа и ок, которые суть радиусы окружнрости. получаем равнобедренный треугольник аок. од - - это перпендикуляр и медиана. поэтому ад = дк = 6 тогда вся хорда 6*2= 12 см. аналогично решаем хорду аl она будет равна 10*2=  20 см.

сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. у нас известны два угла из трех ( b = 60, c = 90 ). поэтому мы можем найти третий угол:

180 - 60 - 90 = 30 ( это угол a )

в есть следующая теорема:

"в прямоугольном треугольнике катет, лежайщий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы."

в данном треугольнике гипотенузой является ab (так как эта сторона лежит против угла в 90 градусов), катетами являются ac и cb.

из теоремы выше понятно, что ab = 2cb

известно, что ab + bc = 111

теперь выразим ab: ab = 111 - bc

теперь все это запишем в уравнение:

мы знаем, что ab можно выразить двумя способами: ab = 111 - bc и ab = 2cb

поэтому можно их прировнять

ab = ab

или

111 - bc = 2cb

111 = 3cb

cb = 111 / 3

так как ab = 2cb, ab = 2 * 111 / 3 = 74