Впараллелограмме abcd ab=5, ad=3, ∠a=30°. найдите меньшую из высот параллелограмма.

Для решения задачи необходим рисунок. Возможны такие варианты:

1. Треугольник.

Пусть ∠2 = ∠3 = х, тогда ∠1 = х + 75°

Сумма углов треугольника 180°:

x + x + x + 75° = 180°

3x = 105°

x = 35°

∠2 = ∠3 = 35°, ∠1 = 110°

2. Две пересекающиеся прямые.

∠1 + ∠2 = 180°, как смежные углы

∠1 - ∠2 = 75°, откуда ∠1 = (180° + 75°)/2 = 255°/2 = 127,5°

∠2 = ∠3 = 127,5° - 75° = 52,5°

3. Две параллельные прямые пересечены секущей.

∠1 + ∠2 = 180°, как внутренние односторонние углы

∠1 - ∠2 = 75°, откуда ∠1 = (180° + 75°)/2 = 255°/2 = 127,5°

∠2 = ∠3 = 127,5° - 75° = 52,5°

Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого AC=√5 см – катет і BH=4 см – проекція катета BC на гіпотенузу AB (за умовою).

прямокутний трикутник, рисунок Проведемо висоту CH=h до гіпотенузи AB (AB⊥CH).

За властивістю прямокутного трикутника

h^2= AH•BH

(це виводиться із подібності прямокутних трикутників ABC і CBH).

Нехай AH=x - проекція катета AC на гіпотенузу AB, тоді h^2=4x.

У прямокутному ΔACH (∠AHC=90), у якого AH=x і CH=h=2√x – катети, AC=√5 см – гіпотенуза, за теоремою Піфагора запишемо:

AH^2+CH^2=AC^2, x^2+4x=5, x^2+4x-5=0,

за теоремою Вієта, отримаємо

x1=1 і x2=-5<0, звідси AH=1 см.

AB=AH+BH=1+4=5 см – гіпотенуза ΔABC.

Відповідь: 5.