:1) из 2 чугунных шаров диаметра 25см и 35см отлили один.найди диаметр нового шара. 2) из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточили шар наибольшего размера. найди, сколько процентов материала будет .

1. v=πd^3/6

v=v1+v2=π/6(d1^3+d2^3)=π/6d^3  d^3=15625+42875=58500 см3

d=∛58500=10∛58,5 cм

 

2. vцил=πd^3/4  vшар=πd^3/6

vшар/vцил=2/3, т.е. будет 1/3 материала цилиндрв или 33,3%

Теорема:   если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.  доказательство:   рассмотрим треугольники авс и а1в1с1, у которых ав=а1в1, угол а= углу а1, угол в=углу в1. докажем, что треугольник авс=треугольнику а1в1с1. наложим треугольник авс на треугольник а1в1с1, так, чтобы вершина а совместилась с вершиноу а1, сторона ав совместилась с равной ей стороной а1в1, а вершины с и с1 оказались по одну сторону от прямой а1в1.  так как угол а= углу а1 и угол в=углу в1, то сторона ас наложится на луч а1с1, а сторона вс- на луч в1с1. поэтому вершина с - общая точка сторон ас и вс - окажется лежащей как на луче а1с1, так и на луче в1с1 и, следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей - вершиной с. значит совместятся стороны ас и а1с1, ас и в1с1.  итак, треугольник авс и а1в1с1 полностью совместятся, поэтому они равны. теорема доказана.

на основании принятой системы координат определяем координаты точек, лежащих на заданных плоскостях и по ним находим уравнения плоскостей.

e(1; 0; 0,5), f(1; 0,5; 0), d(0; 0; 0).

плоскость efd:

для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xe y - ye z - ze

xf - xe yf - ye zf - zea

xd - xe yd - ye zd - ze

  = 0

подставим данные и выражение:

x - 1         y - 0             z - 0,5

1 - 1         0,5 - 0     0 - 0,5

0 - 1   0 - 0       0 - 0,5

  = 0

x - 1       y - 0       z - 0,5

0     0,5         -0,5

-1       0                 -0,5

  = 0

( x - 1) 0,5·(-0,,5)·0   -   (y - 0) 0·(-0,,5)·(-1)   +   (z - 0,5) 0·0-0,5·(-1)   = 0

(-0,25) x - 1   + 0,5 y - 0   + 0,5 z - 0,5   = 0

  - 0,25x + 0,5y + 0,5z = 0

efd : x - 2y - 2z = 0.

a₁(1; 0; 1), d₁(0; 0: 1), m(1; 1; 0,5).

плоскость a1d1m:

для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xa1       y - ya1       z - za1

xd - xa1         yd - ya1       zd - za1

xm - xa1       ym - ya1       zm - za1

  = 0

подставим данные и выражение:

x - 1               y - 0               z - 1

0 - 1               0 - 0                 1 - 1

1 - 1                 1 - 0               0,5 - 1

  = 0

x - 1       y - 0       z - 1

-1         0             0

0         1       -0,5

  = 0

(x - 1) 0·(-0,5)-0·1   -   (y - 0) (-1)·(-0,5)-0·0   +   (z - 1)   (-1)·1-0·0   = 0

0 x - 1   + (-0,5) y - 0   + (-1) z - 1   = 0

  - 0,5y - z + 1 = 0

  a1d1m: - y - 2z + 2 = 0.

вычислим угол между плоскостями  

x - 2y - 2z = 0 и  

- y - 2z + 2 = 0

cos α =   |a1·a2 + b1·b2 + c1·c2| /(√(a1² + b1² + c1²)*√(a2² + b2² + c2²))  

cos α =   |1·0 + (-2)·(-1) + (-2)·(-2)| /(√(1² + (-2)² + (-2)²)*√(0² + (-1)² + (-2)²))   =

=   |0 + 2 + 4| /(√(1 + 4 + 4)*√(0 + 1 + 4))   =

=   6/(√9*√5)   =   6 /√45   =   2√5/5   ≈ 0,8944272.

α = 26,56505°