Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника, меньшая сторона которого равна 8 см, а угол между диагоналями равен a

сделаем построение по условию

треугольник аов -равнобедренный

по теореме косинусов

ab^2 = r^2+r^2 - 2r^2*cos< a

ав= 8 см

8^2 = 2r^2(1 -cos< a)

r^2 =8^2 /(2(1 -cos< a))

r =8 /  √(2(1 -cos< a))   - радиус окружности

длина окружности   c =2п*r =  2п*8 /  √(2(1 -cos< a)) =16п  /  √(2(1 -cos< a))

 

ответ     16п  /  √(2(1 -cos< a))

**   возможна запись другой формулой

Ab = cd => ab || cd, |ab|=|cd| соеденим точки a и c, b и d получился параллелограмм так как у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны. по св-ву параллелограмма, диагонали паралл. точкой пересеч-я делятся пополам. тогда так как ad, bc - диагонали, то середины этих отрезков в точке их пересечения. обратное утв-ие: если  середины отрезков ad и вс , то вектор ав= вектору сdдок-во:   достроим до 4-угольника abcd, ad, bc-диагонали. тогда у четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам. следовательно это параллелограмм.тогда ab = cd так как их длины равны, как противоположные стороны параллелограмма, и направлены они параллельно в одну сторону.

Треугольник авс, ас=8, ав=вс, вк -высота на ас=6 =медиане, биссектрисе во=ок=3, ан - линия через о на вс, ав= корень (ак в квадрате + вк в квадрате) =корень(16+36)=корень52 cosb = (ав в квадрате+вс в квадрате - ас в квадрате) / 2 * ав*вс= =(52+52-64)/2*52=0,3846 =67 град уголавк=уголквс=67/2=33,5 ао   в квадрате  = ав в квадрате  + во в квадрате - 2 * ав*во*cosуглаавк= =52+9-2*3*корень52*0,833=61-36=25 ао=5 sinугла авк = корень (1-  cosуглаавк в квадрате) = корень(1-0,6939)=0,5533 во/sinугла вао =    ао/sinугла авк 3/  sinугла вао=5/0,5533,  sinугла вао = 3*0,5533/5=0,3320 = 19,5 град угол аов=180-33,5-19,5=127, угол вон=180-127=53, угол онв=180-33,5-53=93,5 во/sinугла 93,5 = он/sinугла 33,5, 3/0,998=он/0,5533 он=3*0,5533/0,998=1,7 ан=ао+он=5+1,7=6,7