Впрямоугольном треугольнике abc ( угол c = 90 градусов ) , ce перпендикулярно ab и cd - медиана, ab = 4, ed= корень из трёх. найдите углы треугольника.

Раз треугольник апф равнобедренный, то у него, как у любого порядочного равнобедренного треугольника равны углы при основании, то есть углы паф и афп равны. по условию аф биссектриса угла бац, следовательно угол фац равен углу паф, и он же равен афп. итого, получаем, что прямая аф пересекается двумя: пф и ац под одним и тем же углом, значит по признаку параллельности прямых, пф и ац параллельны друг другу. это, типа, доказанный медицинский факт. теперь с длиной. заметим, что раз пф параллельна ац, как мы только что доказали, то треугольники абц и пбф подобны по трём углам. следовательно пф / ац = бф / бц = 2 : (1+2) = 2: 3. итого, получаем что пф = ац * 2 : 3 = 6 * 2 : 3 = 4 см. такой получается ответ, однако.

площадь треугольника авд равна сумме площадей треугольников амд и авм и равна 6+3=9. высота  треугольника авд равна высоте трапеции авсд. введём обозначения:   h  -  высота  треугольника амд,  h  -  высота треугольника авд,    a  -  нижнее основание трапеции,   в  -  верхнее основание. отношение высот определим из их площадей: (1/2)a*h = 6, (1/2)a*h = 9. отсюда  h/н = 6/9 = 2/3. теперь рассмотрим треугольник вмс. он подобен треугольнику амд. высота его равна н -  h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон. произведение  a*h = 6*2 = 12,                         a*h = 9*2 = 18. если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно при значениях а = 3,  h = 4, н = 6. тогда н -  h = 6 - 4 = 2. площадь треугольника  вмс равна:

(1/2)в*(н  -  h) = (1/2)в*2 = в. отношение  площадей треугольников вмс и амд равно 

(н –  h)²/h²  = 2²/ 4²  = 4/16 = 1/4.

то есть s(вмc) = (1/4)*s(амд),

  (1/2)в*(н  -  h) = (1/4)*6.

(1/2)в*2 = 6/4,

  в = 6/4 = 3/2.

перенесём сторону вс к нижнему основанию в точку д.

получим треугольник авд₁, равновеликий по площади трапеции авсд.

s(авсд) = s(авд₁) = (1/2)*h*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.