Восновании пирамиды mabc лежит треугольник abc у которого ab равно a и угол acb равен 150 градусов. боковые ребра наклонены к основанию под углом 45 градусов. найдите высоту пирамиды.

ребра наклонены под одним углом, значит вершина проектируется в центр описанной окружности. находим радиус описанной окружноси.2r=a/sin 150

2r=a/sin 30

r=a

ребра наклонены под углом в 45 гр., значит высота пирамиды=a (равнобедр. треуг.)

1. радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1. s =π*r₁² ⇒  r₁ =√(s/π)=√(25/8π) =√ ((25/4)/2π ) = √6,25/√(2π)  < 1 = r. значит можно. 2. не может . k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ . если : ad : db  = 1 : 2  ⇒ad = k₁ , db  = 2k₁   ;   ab =3k₁. be : ec  = 1 : 2  ⇒be = k₂ , ec  =   2k₂   ;   bc=3k₂. cf : fa   =  1 : 2 ⇒cf = k₃ , fa   =   2k₃  ; ac =3k₃. db =be ⇒k₂ =2k₁ ; ec =cf ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ . ab =3k₁; bc =3k₂ =6k₁ ; ac =3k₃=3*4k₁ =12k₁ ⇒ ab+bc< ac ,что невозможно. если : ad : db  = 1 : 2  ⇒ad = k₁ , db  = 2k₁   ;   ab =3k₁. be : ec  = 2 : 1  ⇒be = 2k₂ , ec  =   k₂   ;   bc=3k₂. db =be ⇒2k₁=2k₂ ⇒ab =bc тогда  точка касания  f середина  ac .

1) в первом условии получается, что дан равносторонний треугольник. у такого треугольника все углы по 60 градусов. значит, cosa = cos 60° = 0,5. 2) во втором случае дан равнобедренный треугольник. в нем угол а будет при основании, а значит он острый, поэтому тангенс угла будет числом положительным. теперь по теореме косинусов имеем (достаточно нарисовать, чтобы понять обозначения): bc² = ac² + ab² - 2*ac*ab*cosa 169 = 169 + 100 - 260*cosa 260*cosa = 100 cosa = 100/260 = 5/13 по основному тригонометрическому тождеству имеем: sin²a + cos²a = 1 откуда sina =  √(1 - cos²a) =  √(1 - (25/169)) = 12/13 и находим тангенс: tga = sina/cosa = 12/13  ÷ 5/13 = 12/5 = 2,4