Даны точки а (1: -2: 3) в(2: 0: -2) с (0: k: 4при каких значениях k треугольник авс является равнобедренным? ответ должен получиться k=8.5 или -2+-2v7

тоесть ав=ас откудо

ав= v1+4+25=v30

ac=v1+(k+2)^2+1=v30

1+k^2+4k+4+1=30

k^2+4k-24=0 

d=16+4*24=112

k=-4+v112/2=-2-2v7

k2=-2+2v7 

правильный шестиугольник имеет шесть равных сторон (обзовем а) и шесть равных внутренних   углов

если соединить противолежащие вершины фигуры, то получим большие диагонали шестиугольника, которые являются также биссектрисами внутренних углов 

центр вписанной окружности (обзовем т.о) совпадает с точкой пересечения больших диагоналей шестиугольника и делит диагонали пополам (отрезки b)

каждая сторона -а и два отрезка -b образуют шесть равных равнобедренных треугольников с вершинами в т.о (обзовем < a)

сумма всех шести углов   с вершинами в т.о -образует полнный развернутый угол 360 град

значит один угол < a = 360 /6 =60 град

так как треугольники равнобедренные , то углы при основании (обзовем < b ; < c) равны

< b = < c = (180 - 60)/2 = 120/2 =60 град

так как все углы в треугольниках равны 60 град ,значит треугольники равносторонние , т.е. a = b

вписанная окружность касается каждой стороны шестиугольника, кратчайшее расстояние от центра   окружности до точки касания - это перпендикуляр -это радиус окружности - это высота треугольника -r

высота треугольника (r), половина стороны шестиугольника (a/2) и отрезок (b)

образуют прямоугольный треугольник, тогда по теореме пифагора

r^2 = b^2 - (a/2)^2 = a^2  - (a/2)^2 = a^2 (1-1/4) = a^2*3/4

тогда сторона шестиугольника   a =r*2/√3

площадь каждого равностороннего   треугольника s∆1 = 1/2*r*a =1/2*r*r*2/√3 =r^2/√3

площадь шестиугольника - это сумма шести треугольников

s = 6*s∆1 =6*  r^2/√3 =  6*√3  r^2/ (√3*√3) =  6*√3  r^2/ 3 = 2√3  r^2

доказано

 

 

 

биссектрисы в равностороннем треугольнике являются также и медианами.поэтому каждая из сторон треугольника а1в1с1 является также стороной одного из трёх равносторонних треугольников ав1с1, ва1с1, са1в1, образованных половинами сторон ав, вс и ас. треугольники равносторонние на примере треугольника ав1с1, где есть угол а=60градусов и две равные стороны ав1 = ас1, а значит и два других угла равны (180-60)÷2=60.

в итоге в центре получаем четвёртый равносторонний треугольник а1в1с1, каждая из сторон которого ровно в 2 раза меньше стороны исходного треугольника авс.