Желательно в фото , 49 !

координатный метод. 

(*** некоторые результаты, вроде того, что угол cad=  30°; -   я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).

начало координат в точке а, ось x вдоль ad, ось y в плоскости основания перпендикулярно ad, ось z - вдоль аа1. еще я обозначу r = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). кроме того, пусть к - проекция точки n на ad.

плоскость na1d пересекает ось х в точке (4, 0, 0) и ось z в точке (0, 0, 4). 

кроме этого, она проходит через точку n. 

координаты точки n (nx, ny, 0); ny = nk равно половине высоты трапеции abcd,

то есть ny = (r*√3/2)/2 =  √3/2; отсюда nx = ак = 3/2; (потому что угол cad равен 30°; ) 

чтобы построить уравнение плоскости na1d, лучше всего найти координаты точки q (0, q, 0), в которой прямая dn пересекает ось y. это проще, чем высчитывать определитель, уравнение плоскости через координаты точек a1, d и n. 

треугольники qad и nkd подобны, поэтому 

aq/ad = nk/kd; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;

то есть координаты точки q (0, 4√3/5, 0);  

уравнение плоскости a1qd ( она же - плоскость na1d) теперь записывается автоматически

x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;

(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость). 

это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1;  

r = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от а до точки плоскости).

p = (1/4, 5/4√3, 1/4);  

теперь задается вопрос "при каком r его длина минимальна? ".

в такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше - так как косинус угла между r и p будет меньше 1).

в этом случае rp=1; (абсолютные величины! ) и r = 1/p;

то есть для получения ответа осталось вычислить p = ipi;

p =  √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) =  √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.

проверяйте, может я в числах где ошибся.  

сначала узнаем площадь треугольника.   s = abc; s = 12 x 10 x 10; s = 1200так же есть формула, которая гласит, что s = 4r   то есть радиусу описанной окружности увеличенной в четыре раза. можно вывести из этого: abc = 4rимеем теперь, что 4r = 1200;   а значит r = 1200\4;   r =    300теперь на счет вписанной окружности.   вот существует такая формула:   s = prто есть  площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. теперь мы знаем, что abc = prузнаем р. р = 12 + 10 + 10;   р = 32 см   половина периметра, то есть р = 32\2; р = 16 смтеперь можем узнать r таким уровнением:   16   x(умножить)     r   =   1200;     r = 1200\16; r = 75.ответ: r = 300;   r = 75.