1. в треугольнике abc медианы bb1 и cc1 пересекаются в точке о и равны 15 и 18 см соответственно. найдите периметр треугольника abc, если угол вос = 90 градусов.

: (

биссектриса "разрезает" треугольник на два. условно назвав их "левый" и "правый", легко видеть что в подобных треугольниках "сходственные" биссектрисы две пары подобных треугольников. "левый" из разрезанных подобен "левому", а "правый" - "правому". в самом деле, например, у "левых" треугольников есть по равному углу, оставшемуся от исходного, и равны углы, одной из сторон которых являются биссектрисы. то есть подобие по признаку равенства двух углов.

кроме того, у "левых" треугольников одной из сторон является сторона исходного треугольника, а другой   - биссектриса. что автоматически означает их пропорциональность, то есть биссектрисы относятся так же как боковые стороны (и не важно, какая пара "сходственных" сторон - вполне достаточно показать для любой, раз они все пропорциональны с коэффициентом подобия).

это все.

нетрудно сосчитать, что третий угол 30 градусов. наименьшая высота h выходит из угла 105 градусов, и делит треугольник на два прямоугольных, один из которых равнобедренный из-за угла в 45 градусов, а в другом один из углов 30 градусов.

в результате через h можно выразить сторону, к которой она перпендикулярна, она равна h + h*√3= h*(√3 + 1). отсюда s = h^2(√3+1)/2  = (√3 + 1); h =  √2.

даже если вы не знаете, чему равен котангенс 30 градусов (а он равен  √3, откуда и получено второе слагаемое), вы легко можете все это получить, используя теорему пифагора и то, что катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.