Даны произвольные точки а, в, с, d. докажите, что векторы ac+bd=ad+bc, ab+cd=ad+cb

1) объём пирамиды равен одной трети площади основания на высоту:

                                      v = s осн* н/3.

2)в основании пирамиды лежит прав. тр-к, а его площаль равна:

          s = a²·√3/4 = 6²·√3/4=9√3.

3)высоту найдём из δ ado-прям.: l dao=45⁰? , тогда тр-к равнобедр. и do=oa  .

  oa- радиус вписанной в δado окружности и равна r= a/√3=6/√3=2√3.

4)√таким образом v= 9√3·2√3/3= 18 (куб.ед).

ответ: 18 куб.ед.. 

трапеция abcd, bd = 12, h = cd (перпендикулярно основаниям). ad = a; bc = b;

угол сbd равен углу bda, поэтому угол abd = угол cbd, то есть ав = аd : ав = a;

проводим вк перпендикулярно ad. ак = a - b, bk = h;

a^2 - (a - b)^2 = h^2; но

b^2 + h^2 = 12^2; отсюда

2*a*b = b^2 + h^2 = 12^2.

по условию a + b = 27;

a - b = корень((a + b)^2 - 4*a*b) = корень(27^2 - 2*12^2) = 21.

отсюда a = 24, b = 3;  

h = корень(12^2 - 3^2) = 3*корень(15);

ответ ав = ad = 24, вс = 3, cd =  3*корень(15)