Впрямоугольной трапеции меньшая боковая сторона ab=10 , угол cda=45 градусов.найти расстояние от вершины c до прямой ad.

пусь сн- расстояние от вершины c до прямой ad

сн перпендикуляр к аd, также, как и ав; сн и аd- высоты трапеции, сн=ad=10

для решения не нужно знать  угол cda=45, ответ будет одинаковым при любом значении  острого угла cda

, если на время забыть об условии и просто найти площадь и высоту треугольника к стороне ас = 12. просто проведем эту высоту вн = h, и обозначим ан = z; тогда

z^2 + h^2 = 5^2;

(12 - z)^2 + h^2 = 97;

легко это решить

144 - 24*z + z^2 + h^2 = 97; 144 - 24*z + 25 = 97; z = 3;

очевидно, что аhв - "египетский" треугольник, ав = 5, аh = 3, вh = h = 4;

площадь авс sabc = 12*4/2 = 24; всё это пригодится.

теперь заметим, что треугольник bnp подобен abc. ясно, что их высоты пропорциональны сторонам. обозначим np = pq = mq = nm = x; высота авс h = 4; высота bnp равна 4 - х; получаем

(4 - x)/x = 4/12; x = 3; x^2 = 9 - это площадь квадрата. а отношение площадей квадрата и треугольника авс равно 9/24 = 3/8;

те, кто составлял , наверняка предполагали, что решение пойдет в "обратном" порядке, то есть сначала доля площади квадрата от площади авс будет выражена через x, потом х будет выражен через h, и только потом будет вычислена h. после чего вся эта " сказка" будет прочитана в обратном порядке : )) после некоторого размышления я пришел к выводу, что проще сразу начать с конца : ))

чую я, пифагоровым духом пахнет :

трапеция abcd, ad ii bc, ad > bc; ac = 12;

p - середина вс, q - середина ad, pq = 13/2;

проводим ce ii bd, точка e лежит на продолжении ad.

ясно, что ae = ad + вс, поэтому площадь треугольника асе равна площади трапеции (у них общая высота - расстояние от с до ad, - и средние линии равны).

пусть к - середина ае. легко видеть, что qk = (ad + вс)/2 - ad/2 =  bc/2, то есть рскq - параллелограмм. поэтому ck = pq = 13/2 - медиана прямоугольного треугольника асе, проведенная к гипотенузе ае. поэтому ае = 2*ск = 13. ну, вот и прорезался пифагор : в данном случае пифагорова тройка 5,12,13 (кто не понял, это я вычислил се = 5).

поэтому площадь аве, а, следовательно, и площадь трапеции  abcd, равна 5*12/2 = 30.