Постройте треугольник авс по следующим данным: ав=4 см, вс =3 см, угол в=60°.в полученном треугольнике постройте биссектрису угла с.

Пусть abc и a1b1c1  — данные треугольники (рис. 56). построим треугольник cbd, равный треугольнику сва, и треугольник c1d1b1, равный треугольнику c1a1в1, как показано на рисунке. треугольники abd и a1b1d1  равны по третьему признаку. у них ab=a1b1  по условию ; ad=a1d1, так как ac=a1c1; вd=в1d1, так как bd=ab, в1d1  = =а1в1. из равенства треугольников abd и a1b1d1  следует равенство углов:   a=а1. так как по условию ab=a1b1, ac=a1c1  а  a=a1  по доказанному, то треугольники abc и a1в1c1  равны по  первому признаку.

  как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. доказательство будем строить именно на этом.  предположим, что тр-к abc - равнобедренный1) проведём высоту ak к основанию bc. по св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. значит, тр-ки abk b ack будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).2) проведём высоты bm и ch к сторонам ас и ав соответственно.  три высоты пересекутсся в точке о, и все они будут делиться по соотношению 2: 1, считая от вершин.  в 1 действии мы доказали, что тр. abk и ack равны. значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне ak этих двух треугольников, то отрезки высот - bo-om и co-oh будут равны (т.к. не смещена линия симметрии):   bo=coom=ohесли равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты: bm = ch, чтд.всё!