Дан равнобедренный треугольник abc. pk-средняя линия треугольника abc. ac=10, ap=3 . найдите периметр треугольника pbk .

если pk- средняя линия, то ab=6 см. (т.к. pb=половине ab) pb=3 см.

трг. abc равнобедренный, следовательно bk= 3 см.

если ac=10 см, то pk=5 см.

p трг.pbk= 3+3+5= 11 см.

ответ: 11 см

1) ар=рв=вк=кс (т.к. треугольник равнобедренный и т.к. рк - средняя линия)

2) средняя линия рк равна половине параллельной стороны, т.е. половине ас. рк=5.

3) периметр треугольник рвк=рв+вк+рк=3+3+5=11 см

ответ: 11 см

Треугольник  амр  равен тр. ркс,  значит угол мар равен углу крс,  а угол мра равен углу кср. по условию   тр. авс равнобедренный, значит угол мар равен углу кср и следовательно, уг. мра = уг. мар = уг. крс = уг. кср (все эти  углы  равны).  значит треугольник мар и тр. крс так же являются равнобедренными,  то есть ам=мр=кр=кс. следовательно треугольник мкр так же является равнобедренным  (мп=кр). линия вр в треугольнике авс является биссектриссой, медианой и высотой одновременно.  через  сумму углов треугольника:   уг. мар+ уг. мра+  уг. амр = уг. крс + уг. кср+ уг. ркс = уг.  арм + уг мрк + уг.  крс = 180 градусов. с  учетом равенства  уг. мра = уг. мар = уг. крс = уг. кср  получим:   уг. амр  = уг. мрк = уг. ркс.  следовательно треуг. мкр = тр. амр = тр. ркс,  а линия  мк параллельна линии ав, так как смежные углы уг.  мар и уг.  кма=амр+уг. кмр  в сумме составляют 180 градусов. значит  отрезок  вр перпендикулярен отрезку мк  (так же,  как  и  отрезку  ас). значит  отрезок  рв является высотой треугольника мрк, а следовательно он является его медианой и биссектриссой,  так как треугольник мрк равнобедренный.

Пусть e - точка пересечения прямых bc и ad. если е не совпадает с d (на чертеже изображен как раз один из таких случаев), то прямоугольные треугольники bed и ced равны по гипотенузе и катету: bd=cd по условию, а ed - общий катет. отсюда ∠bde=∠cde, а т.к. точки a,d,e лежат на одной прямой, то и ∠bda=∠cda.  (заметим, что если е совпала с d, то равенство углов ∠bda и ∠cda следует сразу из условия, т.к. bc⊥ad). далее, треугольники bda и cda равны по сторонам и углу между ними (ad - общая, bd=cd по условию, ∠bda=∠cda доказали выше), а значит, ab=ac, что и требовалось.