Впрямоугольнике abcd биссектриса угла a пересекает сторону bc в точке m . найдите угол amc

  рассмотрим треугольник авм. угол а=45гр, т.к. ам биссектриса. вма=180-90-45=45гр. угол амс смежный углу вма 180-45=135гр

1. раз надо половину - проводим биссектрису : получился египетский треугольник (5,12,13) (точнее, их получилось 2 : )) отсюда, если угол ф, то

sin(ф/2) = 5/13; cos(ф/2) = 12/13; tg(ф/2) = 5/12

2. опускаем высоты из в и с на ad, и видим по бокам 2 равноберенных прямоугольных треугольника - у них гипотенузы 2, а катеты, которые - куски ad, равны корень(2) : ). то есть углы 45 и, само собой ,135 градусов.

3. делаем то же самое, но уже только с одной стороны, потому что мы уже знаем (в предыдущем пункте считали : что отрезок от d до основания высоты из с на ad, равен полуразности оснований, то есть, в данном случае, (18-12)/2 = 3. поэтому высота равна 3*(корень(3)/3) = корень(3)

а диагональ находится из треугольника, образованного другой высотой - из в на ad и отрезком 18 - 3 = 15 (между прочим, это равно средней линии : ).

d = корень(15^2 + (корень(3))^2) = 2*корень(57)

 

  a    b                                         < adc=60  

      -   -                 -   -                                         < bcd=30

    -   -                  -       -                                     ab=4√3

    -     -                  -       -                                   dc=20√3

  -     -                  -         -

c 

          m                   n

  нехай dm=x см, тоді nc=(20√3-4√3-x)=(16√3-х) см

am=bn як висота трапеції.

з трикутника bnc-прямокутний   bn/cn=tg< bcn, bn=cn·tg30=(16√3-x)·1/√3=

=(16·√3-x)/√3

з трикутника amd-прямокутний am/dm=tg< adm, am=dm·tg60=x√3

прирівнюємо

х√3=(16√3-x)·1/√3 

3х=16√3-х

4х=16√3

х=16√3/4=4√3 

dm=4√3 (см)

з трикутника amd-прямокутний am/dm=tg60 am=4√3·√3=12 (см)

відповідь: 12 см.