Сбилетом. сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

в равнобедренном треугольнике биссектриса,проведённая к основанию является медианой и высотой.

доказательство.:

рассмотрим рисунок  abc-равнобедренный треугольник   с основанием bc,ad-его биссектриса.

из равенства треугольников abd и acd следует что bc=dc и угол 3= углу 4. равенство    bc=dc означает что точка d-середина стороны bc и поэтому ad-медиана треугольника abc.   т.к угла 3 и 4-смежные   и равны друг другу ,то они прямые. следовательно , отрезок ad является также высотой треугольника abc.   теорема доказанна.

пусть h - середина abcd, mh - высота пирамиды mabcd,

mh - медиана, биссектриса и высоты треугольника dbm => h - середина db=> hl - средняя линия треугольника dmb => 2lh=dh;

ah перпендикулярно bd ( как диагонали квадрата),

ah перпендикулярно мh ( т.к. мh - высота пирамиды) 

db пересекает mh в точке h => ah перпендикулярна плоскости dmb, значит угол hla = 60° (по условию),

ca = √(cb^2+ab^2)=6√2 (по теореме пифагора)

ha=1/2ca=3√2

lm=ah/tg60° = √6

dm=2lm=2√6

mh=√(dm^2-dh^2)=√6 (по теореме пифагора)

ответ: √6

дан треугольник авс, углы а и с равны. доказать, что треугольник равнобедренный.

перевернем треугольник авс. получмим новый треугольник с1ва1. тоску с1 совместим с точкой а, луч с1а1 направим по лучу ас и совместим их.  треугольники авс и с1ва1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. но в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. против угла а лежит сторона вс, а против угла с1 лежит сторона ва1.  значит эти стороны равны, но ва1 равна ав значит ав=вс, треугольник имеет две равные стороны, значит он равнобедренный.