1) в треугольнике abc угол с=90 градусов, ac=6 см, bc=8 см. найти медиану ck. 2) в парал-ме abcd точка e - середина ab, ec=ed. доказать, что abcd - прямоуг.

1) по теореме пифагора 

найдём ck по теореме косинусов:

=>

2) треугольники аed и ebc равны по трём сторонам. ad=bc по определению параллелограмма. => углы ead и ebc равны. 

по определению параллелограмма, ad параллелень bc => угол ead + угол ebc = 180 =>   угол ead = угол ebc = 90 => abcd - прямоугольник. что и требовалось доказать.

Обозначим перпендикуляр из точки, назовём её с, за х. основание перпендикуляра - точка о. пересечение наклонных с плоскостью - точки а и в. длина ас =  √(х²+7²) =  √(х²+49. длина вс =  √(х²+32²) =  √(х²+1024). по условию √(х²+49) /  √(х²+1024) = (5/8)² 25(х²+1024) = 64(х²+49). 25х²+25600 = 64х²+3136. 39х² = 22464 х² = 576 х = 24. отсюда искомые длины наклонных: ас =  √(24²+7²) =  √9576+1024) =  √625 = 25. вс =  √(24²+32²) =  √(576+1024) =  √1600 = 40.

квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы. вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.

квадрат касается   сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.

    r=8: 2=4 см

пусть   центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет н. 

расстояние от центра о сферы до вершины с квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника онс, в котором нс - половина диагонали квадрата, он - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)

диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. нс =(8√2): 2=4√2

по т.пифагора 

оh²=oc²-hc²64-32=32

обозначим точку касания квадрата и сферы р. 

тогда r=ор=√(oh²+ph²)=√32+16)=√48=4√3 см