Отрезок вд–диаметр окружности с центром о. хорда ас делит пополан радиус ов и пенпендикулярна к нему. найдите углы четырехугольника авсд и градусные меры дуг ав, вс, сд, ад.

если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°

уголы вад и всд =90, так как опираются на диаметр.

sinоам = ом/оа = 0,5 ( отношение противолежащего катета к гипотенузе) значит угол оам=30. угол аом равен 90°-30° = 60°. столько же и потому же равен угол сом. итак, угол аос = 120°. значит столько же и потому же равен угол авс = 120. тогда угол адс = 60° ( так как 360°-180°-120°)градусные меры дуг равны удвоенным градусным мерам вписанных углов, на них опирающихся значит дуга ав =  дуге вс 60°, дуга ад = дуге дс = 120°

Достроим треугольник до квадрата симметрично его гипотенузы. площадь квадрата вдвое больше площади треугольника, то есть sк=2sт=2·40.5=81 см². площадь квадрата: sк=d²/2  ⇒ d=√(2·sк)=√(2·81)=9√2 см, где d - диагональ квадрата и гипотенуза треугольника. сторона квадрата: a=d/√2=9 см.  радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. длина описанной окружности: c=2πr=πd=9√2π см - это ответ. формула радиуса вписанной окружности: r=(a+b-c)/2. a=b, c=d. r=(2a-d)/2=(2·9-9√2)/2=9(2-√2)/2. длина вписанной окружности: c=2πr=9(2-√2)π см - это ответ.

Как известно, сумма квадратов косинусов углов между диагональю прямоугольного параллелепипеда  и ребрами, исходящими из одной вершины, равна 1. поскольку косинус 60 градусов равен 1/2, получаем (1/2)^2+(1/2)^2+cos^2  ф=1⇒cos^2  ф =1/2; cos  ф=√2/2;   ф=45° если вы эту формулу не знаете, давайте выведем ее. воспользуемся тем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то есть ребер, выходящих из одной вершины: a^2+b^2+c^2=d^2, а тогда (a/d)^2+(b/d)^2+(c/d)^2=1.    отношения a/d; b/d; c/d и являются косинусами нужных углов.