Впрямоугольный треугольник вписана окружность. точка касания вписанной окружности с одним из катетов делит этот катет на отрезки 8 см и 7 см. найдите диаметр окружности, вписанной около данного прямоугольного треугольника. нужно решение

ясно, что один из отрезков - тот, который имеет своим концом вершину прямого угла - равен радиусу вписанной окружности. это сразу понятно, если провести радиусы в точки касания - у вершины прямого угла получится квадрат, образованный двумя радиусами и двумя отрезками катетов. 

поскольку два угла прямоугольнного треугольника острые, то есть из половинки меньше 45 градусов, то отношение радиуса вписанной окружности к отрезку стороны от вершины острого угла до точки касания меньше, чем 1. поэтому радиус вписанной окружности равен 7, а один из катетов равен 15. точки касания делят гипотенузу на отрезки 8 и x, а второй катет - на отрезки 7 и х.

(8 + x)^2 = (7 + x)^2 + 15^2;

x = (15^2 + 7^2 - 8^2)/2 = 105;

поэтому стороны треугольника равны 15, 112, 113.

само собой, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы 113/2.

 

(интересная пифагорова тройка 15, 112, 113, - она получается, если взять пифагорову тройку 5,12,13, и приписать 1 слева : ) забавно было бы найти все такие тройки, у которых можно отбросить - или, наоборот, приписать - сколько-то знаков слева, и получится новая тройка. но эту вряд ли решит школьник, даже если сдаст десять тысяч егэ. её и профессор не всякий

Так как окружности касаются а радиусы перпендикулярны касательной, то они лежат на одной прямой. Значит  есть два случая 1) точка касания между радиусами  2)  радиусы с одной стороны от точки

Обозначит А - центр первой окружности В - центр второй окружности С - точка касания.  АВ = 24 см

Известно . Что АС : СВ = 7 : 5 Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда АС = 7х, ВС = 5х

1 случай) точки расположены в таком порядке на прямой  А С В

Значит АС + СВ = АВ   или 7х+5х=24  или 12х = 24  или х=2

Значит АС = 2*7=14 см   СВ = 2*5 = 10 см.  

2 случай) Точки расположены  А В С Значит АВ + ВС = АС

24 + 5х = 7х  или 24 = 7х-5х  или 24 = 2х или х = 12

Значит АС = 12*7 = 84 см   ВС = 12*5 = 60 см

Итак в первом случае радиусы равны 14 см и 10 см; во втором случае 84 см и 60 см

Объяснение:

Геометрия

7 класс

Урок № 13

Равнобедренный треугольник

Перечень рассматриваемых вопросов:

Понятие равнобедренного, равностороннего треугольника.

Формулировка и доказательство теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Признак равнобедренного треугольника.

Измерения и вычисления в равнобедренном треугольнике.

Тезаурус:

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.

Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.

Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.

Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.

Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Объяснение: