Дан правильный тетраэдр abcd с ребром √6. найдите расстояние от вершины а до плоскости bdc.

дк = вдsin60 =√6 *√3/2 = 3√2/2  do = 2dk/3 = √2 ( медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины)

  ао² = ад² -од² = 6-2 =4, тогда ао =2  ответ 2 -расстояние от вершины а до плоскости bdc

1)надо продлить прямую ab за точку a до пересечения с прямой n в точке с, 2) обозначить центр окружности o. 3) провести из точки a перпендикуляр на n (то есть построить проекцию точки a на прямую n). пусть это - точка n. 4) проекция точки b на n - точка m 5) проекция точки o (центра окружности) точка k; 6) через точку a надо провести прямую ii n, пусть она пересекает  bm в точке f и ok в точке e; 7) и последнее - через точку o тоже проводится прямая ii n до пересечения с bm в точке d; итак, есть касательная ck и секущая cb к окружности с центром в точке o. очевидно, что afmn - прямоугольник, поэтому bf = bm - an = 5 - 1 = 4;   в прямоугольном треугольнике afb известны гипотенуза ab = 2√5 и катет bf = 4; откуда af = 2; разумеется nm = af = 2; и кроме того, an = fm = ek = 1; поскольку aekn - тоже прямоугольник. из подобия треугольников afn и acn легко найти cn = 1/2; ясно, что cm = сn + nm = 1/2 + 2 = 5/2; чтобы дальше не тащить длинные буквенные обозначения, я обозначу радиус окружности r; и пусть ck =  a; тогда ob = oa = ok = r; ae  = ck - cn = a - 1/2; od = ck - cm = a - 5/2; из треугольника bod od^2 + bd^2 = ob^2;   bd = bm - r; (a - 5/2)^2 + (5 - r)^2 = r^2; или a^2 - 5a + 25/4 + 25 - 10r = 0; из треугольника aoe ae^2 + oe^2 = ao^2; oe = r - ek = r - 1; (a - 1/2)^2 + (r - 1)^2 = r^2; a^2 - a + 1/4 + 1 - 2r = 0; если исключить r из двух полученных уравнений, получится a^2 = 25/4; или a = 5/2 или (-5/2); второе решение не надо "отбрасывать", это - не вермишель : ).  после этого легко найти и r, 2r = 1 + (a - 1/2)^2; в первом случае r = 5/2; во втором r = 5; второе решение отличается от первого тем, что точка k лежит с другой стороны от точки c, чем точки m и n. поэтому a получилось отрицательное. при этом дуга окружности ab лежит ниже прямой ab.

Для начало найдем   большее основание , она равна  , то есть  .    угол   ,боковая   сторона   ,   тогда   по теореме косинусов , диагональ           так как в не говорится какое именно основание , большее или меньшее?       предположим что большее , тогда так как трапеция равнобедренная отбросим   треугольник   , и рассмотрим треугольник  , впишем его в координатную     плоскость  , так что       нам нужно найти    радиус вписанной окружности по формуле             пусть уравнение окружности равна       уравнения прямых  соответственно      подставляя   каждое уравнение прямой ,   в уравнение окружности и решая ,учитывая то что   касательная   (стороны  )  имеют одну точку касания с окружностью   , получаем что   (учитываем что дискриминант равен )   для               приравниваем           то есть уравнение окружности    найдем координаты точек            и его уравнение        решаем систему                     ответ