Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза равна 4кор. 2 . найти катеты данного треугольника. !

треугольник прямоугольный, внешний угол равен  135°. значит угол треугольника равен 180-135=45. имеем равнобедренный прямоугольный треугольник. по пифагору с² = а²+в², но а=в, имеем: (4√2)² = 2а² или 32=2а².   а²=16, а = 4. итак , катеты равны и равны 4.

Окружность является вписанной для большого треугольника и описанной для маленького. радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен r = a/√3. радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен r = b/2√3. окружность является одновременно и вписанной и описанной, тогда a/√3 = b/2√3. a = b/2. a/b = 1/2. т.к. эти треугольник равносторонние, то все углы у них равны. тогда они еще и подобны по i признаку. из подобия следует, что их площадь относятся как квадраты их сторон, т.е. s1/s2 = (a/b)² = 1/4. значит, площадь описанного треугольника в четыре раза больше вписанного.

площадь трапеции

площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

s = ((ad + bc) / 2) · bh,

где  высота трапеции  — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

доказательство.



рассмотрим трапецию  abcd  с основаниями  ad  и  bc, высотой  bh  и площадью  s.

докажем, что  s = ((ad + bc) / 2) · bh.

диагональ  bd  разделяет трапецию на два треугольника  abd  и  bcd, поэтому  s = sabd  + sbcd. примем отрезки  ad  и  bh  за основание и высоту треугольника  abd, а отрезки  bcи  dh1  за основание и высоту треугольника  bcd. тогда

sabc  = ad · bh / 2, sbcd  = bc · dh1.

так как  dh1  = bh, то  sbcd  = bc · bh / 2.

таким образом,

s = ad · bh / 2 + bc · bh = ((ad + bc) / 2) · bh.это можно только с доказательством