Радиусы оснований усеченного конуса раны 3м и 6м, а обращающая равна 5м. найдите объем усеченного конуса.

дано: r=6m, l=5m, r=3m.

найти: v.

решение:

v=1/3h(s+s+sqrts+s).

s=пиr^2.

s=36пи.

s=9дм^2(s основания.)

теперь из формулы подставляем:

1/3*4(45пи+18пи)=4/3*64пи=84пи v^3.

Первая аксиома стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом, только одну. вторая аксиома стереометрии: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. так как любые 2 из данных трех определяют прямую, то первое выражение можно перефразировать так:   через прямую l и точку вне ее проходит плоскость, притом только одна. прямая является бесконечным множеством точек, поэтому их можно выбрать на прямой любое количество 3; 10; 1000, - важно только то, что все эти точки лежат на одной прямой. ну, а само доказательство выглядит так: три различные точки прямой и данная точка образуют конфигурацию точек, удовлетворяющую аксиоме 1. в плоскости , задаваемой этой конфигурацией, содержатся все точки прямой l (аксиома 2). единственность плоскости гарантируется аксиомой 1.

Вправильном октаэдре есть три плоскости диагональной симметрии. на рисунке это авсд, аесн и bedh. все   они квадраты со стороной а. все грани октаэдра - правильные треугольники. в треугольнике аве ек - высота и медиана, точка р - центр треугольника, значит ер: рк=2: 1  ⇒ ер: ек=2: 3. рт║км, значит треугольники екм и ерт подобны. в них рт/км=ер/ек=2/3, рт=2км/3=2а/3. на втором рисунке изображена вершинная проекция из вершины е на плоскость авсд. точки р, r, t, s - центры боковых граней. боковые грани - правильные треугольники, значит prts - квадрат и грань куба. сторона куба b=ps=pt/√2=a√2/3. рассмотрев проекции на другие диагональные сечения, сделав такие же построение, можно убедиться, что наш кубик действительно куб.  можно доказать это по-другому (не обязательно). если предположить, что вписан действительно куб, то fo - половина его высоты.  ео²=ек²-ко²=3а²/4-а²/4=а²/2, ео=а/√2=а√2/2. в подобных треугольниках ept и ekm fo=eo/3=а√2/6. высота кубика: 2fo=a√2/3=b. доказано. объём октаэдра: vo=2·sh/3=2·ab²·eo/3=2a²·a√2/6=a³√2/3. объём куба vк=b³=2a³√2/27. vo: vк=а³√2·27/(2а³√2·3)=9/2=9: 2.   соответственно отношение объёма хрустальной и серебряной частей 7: 2 - это ответ.