Кусок сыра в форме правильной 4-угольной пирамиды sавсd (s-вершина пирамиды) разрезали одним плоским разрезом, который проходит через ребра ав и делит ребро sc в отношении 2: 3, считая от вершины s. найдите отношение объемов полученных кусков сыра.

в прямоугольном треугольнике r = c/2       r = (a + b - c)/2r + r = (a + b)/2тогда   (a + b)/c = (r + r)/r = 17/13пусть гипотенуза треугольника равна с, а один из катетов равен х. тогда второй катет равен 17/13 * c - х. согласно теореме пифагорах² + (17/13 * c - x)² = c²x² + 289/169 * c² - 34/13 * c * x + x² = c²x² - 17/13 * c * x + 60/169 = 0x₁ = 5/13 * c       x₂ = 12/13 * cледовательно, если больший катет равен а, то меньший катет равен   а/2,4 = 5*a/12,   а площадь треугольника   s = a * (5*a/12) / 2 = 5 * a² / 24 .если же меньший катет равен а, то больший катет равен   a * 12/5 = 2,4 * a   а площадь треугольника   s = a * 2,4 * a / 2 = 1,2 * a².

Основанием пирамиды есть треугольник со сторонами 13, 20, 21 см. если двугранные углы при основании равны 30° каждый, то чему равен обьем пирамиды? решение: • из точки н, основания перпендикуляра sh , проведём перпендикуляр к вс в точке м . • sh перпендикулярен нм, нм перпедикулярен вс => по теореме о трёх перпендикулярах sm перпендикулярен вс. аналогично, проводя перпендикуляры из точки н к сторонам треугольника авс получаем: sk перпедикулярен ас , sp перпедикулярен ab • тр. skh = тр. smh = тр. sph по катету и прилежащему углу ( sh - общий катет , угол ksh = угол мsh = угол psh = 60° ) значит, hk = hm = hp, но при этом нк перпедикулярен ас , нм перпедикулярен вс, нр перпедикулярен ав => значит, hk = hm = hp = r - радиусы вписанной окружности в тр. авс. • найдём площадь тр. авс по формуле герона: где р = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр , a, b, c - стороны данного треугольника • используем формулу для нахождения радиуса вписанной окружности: hk = hm = hp = r = 14/3 см • рассмотрим тр. shm (угол shm = 90°): tg30° = sh / hm => sh = tg30° • ( 14 / 3 ) = ( v3 / 3 ) • ( 14 / 3 ) = 14v3 / 9 см • v пир. = ( 1/3 ) • s abc • sh = ( 1/3 ) • 126 • ( 14v3 / 9 ) = ( 126/27 ) • 14v3 = ( 14/3 ) • 14v3 = 196v3 / 3 см^3 ответ: 196v3 / 3 см^3