Одна зі сторін трикутника дорівнює 10 а медіани що проведені до двох інших сторін дорівнюють 9 і 12.знайти площу трикутника

 

1 способ

о- точка пересечения медиан

отрезки медиан от вершин до точки их пересечения равны 2/3 их длины, то есть 6 и 8. поэтому треугольник аос имеет стороны 6,8,10, то есть это прямоугольный треугольник (6²+ 8² = 10²). то есть угол аос прямой. площадь аос равна 0,5*6*8 = 24. а площадь всего треугольника авс равна утроенной площади аос, то есть 72.

 

(три медианы делят любой трегольник на 6 треугольников, равных по площади. треугольник аос состоит из 2 таких треугольников, то есть его площадь равна трети площади авс).

2 способ

  ао перпендикулярно dc, то площадь аdc равна 0,5*ао*dc =0,5* 6*12 = 36, а площадь adc равна площади bdc - у них общая высота и равные основания (раз dc - медиана, то ad = db). поэтому площадь авс равна удвоенной площади adc, то есть 36*2 = 72.

ответ: 72

хорда ав=20, хорда сд=16, ав перпендикулярна сд, проводим радиусы од=ос=оа=ов=корень114, треугольник сод  равнобедренный, проводим высоту он на сд=медиане, сн=нд=1/2сд=16/2=8,

треугольник одн прямоугольный, он=корень(од  в квадрате-нд в квадрате)=корень(114-64)=корень50

треугольник аов равнобедренный, проводим высоту ок на ав=медиане, ак=кв=1/2ав=20/2=10, треугольник ако прямоугольный, ок=корень(оа в квадрате- ак в квадрате)=корень(114-100)=корень14,

треугольник онк прямоугольный нк-расстояние между серединами хорд=(он в квадрате-ок в квадрате)=корень(50-14)=6

Пусть одна диагональ равна х см, а другая (4+х)см. площадь ромба находится как половина произведения его диагоналей. получим: 1/2*х(4 + х)=(x^2+4x)/2. теперь найдем х. диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делится пополам (пересекаются в точке о). рассмотрим прямоугольный треугольник аов.  один катет будет равен половине диагонали, то есть х/2, а второй катет будет равен половине другой диагонали, то есть 2+х/2. гипотенуза равна 10 см (сторона ромба). составим уравнение по теореме пифагора и решим уравнение: (2+х/2)^2+(х/2)^2=100 4+2х+х^2/4+х^2/4=100 |*4 16+2х+х^2+x^2=4002x^2+8x+16=400 |: 2x^2+4x+8=200x^2+4x-192=0решая квадратное уравнение, мы получим корни: 12 и -16 (не удовлетворяет условию ).то есть мы нашли одну диагональ и она равна 12 см.подставим наше значение в формулу и найдем площадь ромба: (144+48)/2=96 см^2ответ: площадь ромба равна 96 см^2