Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы , если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани. равна 4 см

диагональ призмы равна d=5 см

диагональ боковой грани. равна d=4 см

сторона основания b =  √ d^2 - d^2 = √25 -16 =√9=3 см

у правильной четырехугольной призмы - основание квадрат

площадь основанмя so =b^2 =3^2 =9 см2

высота h =  √ d^2 - b^2 = √ 16-9 =√7 см

площадь боковой грани sб = 4b*h = 4*3*√7 =12√7 см2

полная поверхность   s = 2so +sб =2*9 +12√7 = 18 +12√7 см2

 

пусть c и c′ - длины окружностей радиусов r и r′. впишем в окружности правильные многоугольники.

pn  и pn′ - их периметры, an  и an′ - стороны.

pn  = n • an  = n • 2r • sin

pn′ = n • an  = n • 2r′ • sin

тогда 

зная, что периметры pn  и pn′ - приближенные значения длин окружностей c и c′, при n →∞, получаем

   

но в силу равенства  получаем 

по свойству пропорции 

значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.

формула длины окружности:

***

 

124.

если известен радиус r = 4, то длина окружности c = 2πr = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

если c = 82, то радиус окружности r ==  = 13,1

если c = 18π, то радиус окружности r ==  = 9

***

 

125.

дано:

a - сторона правильного треугольника

 

найдите: длину описанной окружности

решение:

т.к.  сторона правильного многоугольника

an  = 2r • sin тогда сторона правильного треугольника

a = r    r = 

тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна c = 2πr = 

***

 

вывод формулы для вычисления дуги l с градусной мерой α.

градусная мера окружности 360°,

длина окружности c = 2πr

длина дуги в 1° равна 

 

 

тогда  длина дуги окружности в α градусах:

 

 

 

***

 

126.

дано:

радиус r= 6 см,

угол дуги

1) α = 30°2) α = 45°3) α = 60°4) α = 90°

 

найти: длину дуги окружности

решение:

1) l =  • 30° =  • 30° = π (см)

2) l =  • 45° =  • 3 = 1,5π (см)

3) l =  • 60° = 2π (см)

4) l =  • 90° = 3π (см)

***

 

127.

дано:

abcdef - правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника s6  = 24  см2

 

найти: чему равна длина описанной окружности c = ?

решение:

c = 2πr

значит, нужно найти радиус описанной окружности.

площадь шестиугольника определяется по формуле

s6  =  • p6  • r6

радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6  = r • cos    =  • r

сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6  = r

тогда периметр шестиугольника p6  = 6 • a6  = 6r (см)

s6  =  • p6  • r6  =  • 6r •  • r = 1,5•r2

24= 1,5•r2

r2  =  = 16    получаем радиус описанной окружности

r =  = 4 (см)

тогда длина описанной окружности равна

c = 2πr = 2π • 4 = 8π (см)

ответ: 8π см.

***

 

128.

дано:

abcd - квадрат,

сторона квадрата ab = a

 

найти: длину вписанной окружности c = 2π • r = ?

решение:

r4  = r • cos    = r • cos 45° =  r

c = 2π • r = 2π •  r = π • r

ab = a = 2r = r. значит, c = π • r= π • a

ответ: длина окружности, вписанной в квадрат c = π • a

***

 

129.

дано: окружность (o; r) – описанная около следующих фигур

1) δ abc – вписанный прямоугольный треугольник;

a, b – катеты

2) δ abc – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) abcd – вписанный прямоугольник,

bc = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

 

найти: длину описанной окружности c = 2πr = ?

решение:

1)

2r = ab    r =  ab

ab = 

тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

c = 2π •    •  = π

 

2)

bh =  = 

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

sδabc  =  bh • ac =    (1)

но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

sδabc  =    =    (2)

 

используя равенства (1) и (2), получаем

=    r = 

1.в ∆ авd точки к и f – середины боковых сторон. ⇒кf - средняя линия∆ авd и равна половине основания. ⇒  вd=6•2=12 см по условию bd: dc=3: 2,  значит,  длина одной части равна  этого отношения 12: 3= 4 см. dc=4•2=8см ⇒   вс=12+8=20 (см) ∠bdc– развернутый и равен 180° ∠аdc= ∠bdc-∠adc=180°-100°=80° средняя линия треугольника параллельна  его основанию. ad - секущая при параллельных kf и аd.⇒  ∠аfk=∠adb=80°как соответственные.  2.  ав=8, если ав больше ас в 2 раза, то угол сва=30 в прямоугольном треугольнике катет напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. см - медиана, значит вм=ма=4 то сма получается равнобедренный, значит мса=амс=180-60/2=60 угол всм = 90-мса = 30 3. находим полусумму оснований (8+12)/2=10 находим боковую сторону  (12-8)/2cosa=2/cosp=4/cosa+20 находим высоту h=2tga s=20tga 4.  в равнобедренном треугольнике авс с основанием ас медианы пересекаются в точке о. найдите площадь треугольника авс, если оа =13 см, ов = 10 см.5.  из теоремы пифагора находим ав=корень из(аd^2-bd^2) дальше площадь треугольника авd=авхвd/2(он прямоугольный).следующий этап находим высоту этого же треуг-ка,опущенную на аd-она равна dе. делим площадь этого треугольника на половину основания (аd) теперь в прямоуголном треугольнике нам известны гипотенуза вд и катетdе опять применим теорему пифагора ве=корень из(вd^2-de^2)