Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с площадями 9 и 36. найдите гипотенузу данного треугольника

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобные (и между собой, конечно, подобные). если высота к гипотенузе с равна h, катеты a и b, соответствующие им отрезки гипотенузы (проекции катетов на гипотенузу) равны x и y, то из этого подобия следуют таких два соотношения (второе в решении не пригодится, но может пригодиться при проверке ответа) 1. x/h = h/y; => h^2 = x*y; 2. x/a = h/b; => x/y = (a/b)^2; (надо просто подставить h =  √(x*y))площади треугольников равны 9 и 36; h*x/2 = 9; h*y/2 = 36; => y = 4*x; => h =  √(x*y) = 2*x;   в силу упомянутого подобия у всех трех треугольников больший катет в два раза больше меньшего  (то же самое следует из второго доказанного равенства  x/y = (a/b)^2; ) . далее,  из h*x/2 = 9; и h = 2*x;   получается x^2 = 9; x = 3; y = 12; c = x + y =  15;

Решение вашего во вложении (2 фото) , выберите лучшее изображение

1)  треугольник acb - прямоугольный, угол с=90 градусов  (т.к. он опирается на диаметр) 2)дополнительное построение: ch  перпендикулярна ab (высота) из п.1 и 2 => ac^2=ah*ab (свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника) т.к. ac=ah,  заменю и перенесу влево ac^2-ac-12=0 d=1+48=49 ac=ah=(1+7)/2=4 3) bh=ab-ah bh=12-4=8 4) ch^2=ah*bh  (свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника) ch^2=4*8 ch=4√2 — расстояние от с до прямой ав 5) s=1/2*ab*ch s=12/2*4√2=24√2 — площадь треугольника abc

Решение: 1) а)  радиус описанной окружности около треугольника  - расстояние серединного перпендикуляра от концов отрезка. известно, что радиус равен 10 сантиметрам. (см. рис. 1). очевидно, из рисунка видно, что оставшаяся часть bo также является радиусом, равным 10 см. oh = 16-10=6 (см). рассматриваем маленький прямоугольный треугольник  δoha. мы знаем его гипотенузу и катет. нам остается только применить т. пифагора: поскольку высота в равнобедренном треугольнике является медианой, то ah=hc=6 см. вся часть, очевидно, равна 12 см. площадь равна основания на высоту. поэтому,  см². б) рассмотрим треугольник  δbha. нам надо найти гипотенузу, используя два известных катета. применяем теорему пифагора: см. ответ:   а) 96 см². б) 2√73 см 2) угол mnk опирается прямо на дугу, следовательно, этот угол будет составлять половину от 180 градусов, т.е. угол mnk равен 90. раз четырехугольник вписан в окружность, а по свойству вписанного четырехугольника в окружность, угол mnk будет равен углу mpk, т.е. также 90 градусов. найдем, чему будет равен угол mnp. этот угол опирается на дугу pkn, градусная мера которой равна сумме 100 и 140, т.е. 240 градусов. угол mnp будет составлять половину от этой градусной меры, т.е. 120 градусов. отсюда мы найдем, что последний угол будет равен 60 градусов. ответ:   90,90,60,120