(из точки, удаленной от плоскости квадрата на 36 см, к сторонам квадрата проведены равные перпендикуляры. другая точка удалена от этих перпендикуляров и от плоскости квадрата на 10 см. найдите площадь квадрата.

  в правильной пирамиде все боковые рёбра равны, все боковые грани - равные равнобедренные тр-ки. высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.  следовательно, имеем боковую грань(равнобедр. тр-к с основанием=12 и высотой(апофемой)=15 см высота равнобедр. тр-ка делит основание пополам и образует прямоуг. тр-к со стороной основания и бок. ребром пирамиды. тогда по пифагору:   бок. ребро=корень кв. из (6^2+15^2)=корень кв. из 261 2.проведем so — высоту пирамиды и перпендикуляры sk, sm и sn к соответствующим сторонам δавс.  тогда по теореме о трех перпендикулярах ok ⊥ вс, ом ⊥ ас и on ⊥ ab. так что ∠sko = ∠smo = ∠sno = 60° — линейные углы данных двугранных углов. значит, треугольники sko, smo и sno равны по катету и острому углу. тогда om = ok = on, то есть точка о является центром окружности, вписанной в основание. в прямоугольном δaвс:  

1. получилось 7 треугольников. 2.  δ авс прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол а = углу в = 90: 2 = 45 градусов ( в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов). сд - медиана, а значит и высота и биссектриса  δавс, поэтому угол дса=углу дсв = 45 градусов, угол сдв = углу сда = 90 градусов. в  δ дcв и  δ дса по два равных угла, значит они равнобедренные с основаниями дв и ад соответственно. тогда де и дf - высоты и биссектрисы этих треугольников, поэтому угол сед = 90 градусов, угол едв = 45 градусов, угол сде = 45 градусов, угол сдf = углу  fда = 45 градусов, угол дfc = углу afд = 90 градусов. 3) треугольники  дсв и дса  - равнобедренные, дв=дс=да, а это означает, что д находится на равных расстояниях от вершин треугольника