Прямоугольная трапеция описывает круг. найди периметр трапеции, если точка соприкосновения делит большую боковую сторону на отрезки 5 см и 10 см, а радиус круга равен 4 см.

5+ 5 + 10 + 10 + 4 + 4 + 4 + 4 = 46;

Прямоугольник авсд, ас=вд, ао=во=со=до, вк перпендикуляр на ас, ом перпендикуляр на ад, ом/вд=1/4=1х/4х, од=1/2вд, ом/од=1х/2х, треугольник аод равнобедренный, ом-высота=медиане, ам=мд, треугольник мод прямоугольный, мд=корень(од в квадрате-ом в квадрате)=(4*х в квадрате-х в квадрате)=х*корень3, ад=мд*2=2х*корень3=вс, треугольник авд прямоугольный, ав=корень(вд в квадрате-ад в квадрате)=корень(16*х в квадрате-12*х в квадрате)=2х, треугольник авс прямоугольный, вк высота, ав в квадрате=ак*ас, 4*х в квадрате=ак*4х, ак=х, кс=ас-ак=4х-х=3х, ак/кс=х/3х=1/3

Построение: возьмем точку o на прямой, которая точно не лежит на перпендикуляре (это можно сделать на глаз  без измерений), проведем окружность с центром в точке o и  радиусом op, где p – данная точка. эта окружность пересекает прямую в двух точках a и b. проведем окружности с центром с точке a и радиусом ap и с центром в точке b и радиусом ap. последняя окружность пересекает первую в некоторой точке q, прямая pq – искомая. доказательство: равнобедренные треугольники apo и bqo равны по трём сторонам, тогда отмеченные на чертеже углы равны. пусть  ∠a =  α, тогда  ∠aop =  ∠boq = 180° - 2α;   ∠poq =  β = 180° - 2∠aop = 4α - 180°. отсюда  ∠opq = (180° - β)/2 = 180° - 2α. углы  ∠aop и  ∠opq оказались равны, а так как это накрест лежащие углы при прямых ab и pq и секущей po, то ab || pq, что и требовалось доказать.