1500л-2800дм куб: 100 умножить на 5 +12089=

1500 л - 2800 куб.дм : 100 * 5 + 2800 : 100 * 5 + 12089 = 500 + 28 + 12089 = 528 + 12089 = 12617

Уравнение a2a3a4 ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек  2a+b+c+d=0 3a+b+2c+d=0 a+3c+d=0 пусть a=1 , тогда с= -1 d=2 b= -3 уравнение плоскости a2a3a4 x-3y-z+2=0 нормализованное уравнение плоскости к=√(1+9+1)=√11 1/к*x-3/к*x-1/к*z+2/k=0 подставляем координаты точки а1 в нормализованное уравнение расстояние равно= 1/к+3/к-1/к+2/к=5/√11 уравнение прямой проходящей через a1(1; -1; 1) перпендикулярно плоскости x-3y-z+2=0  имеет вид  (x-1)/1=(y+1)/(-3)=(z-1)/1 или  x-1=t y+1= -3t z-1= -t x-3y-z+2=0  решением этой системы при t= -5/11  будет точка проекции на плоскость a2a3a4 a5 ( 6/11 ; 4/11 ; 16/11) 

даны координаты вершин пирамиды:

а1 (1, 1, 1),  а2 (2, 0, 2),  а3(2, 2, 2), а4 (3, 4, -3).

найти:

1) длину ребра а1а2.

|a1a2| =  √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) =  √3  ≈ 1,73205.

2) угол  α между ребрами а1а2 и а1а3.

вектор а1а2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).

вектор а1а3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

cos  α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.

α = arc cos(1/3) = 1,2309594 радиан =  70,528779 градуса.

3) площадь грани а1а2а3. s  = (1/2)*|a  ×  b|.

найдем  векторное произведение векторов:

c   =  a   ×  b. a  ×  b  =  ijkaxayazbxbybz  =  ijk1-11111  =  i  )·1  -  1·1)  -  j  (1·1  -  1·1)  +  k  (1·1  -  (-1)·1)  =    =  i  (-1  -  1)  -  j  (1  -  1)  +  k  (1  +  1)  =  {-2;   0;   2}

найдем  модуль вектора:

|c|  =  √(cx²   +  cy²   +  cz²)  =  √)²  +  0²  +  2²)  =  √(4  +  0  +  4)  =  √8  =  2√2.

найдем площадь треугольника:

s  = (1/2)*2√2  =  √2  ≈  1,41421356.площадь грани можно также найти по формуле: s = (1/2)|a1a2|*|a1a3|*sin  α. синус найдём через найденный косинус угла между векторами: sin  α =  √(1-cos²α) =  √(1-(1/3)²) =  √(8/9) = 2√2/3. модули векторов уже найдены при определении косинуса угла: √3 и √3. площадь грани a1a2a3 равна: s = (1/2)*√3*√3*2√2/3 =  √2. 4) объем пирамиды а1а2а3a4 (с учётом, что a1a4 =(2; 3; -4) ).v = (1/6)*| 1   -1     1|                |1     1    1|                |2     3   -4|.так как определитель матрицы ∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*)*(-4)-3*1)+2*)*1-1*1) = -12, то объём равен: v = (1/6)*12 = 2. 5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины a4.    длина высоты пирамиды h=3v/sосн = 3*2/√2 = 3√2  ≈  4,242641.