Сложные смешенные дроби 12 5/6+4/15

с ответом согласен. попробую попроще объяснить.

возьмем   n!   последняя цифра этого числа      0  для всех n> =5

возьмем  5n последняя цифра этого числа      0  или 5 , если  n четное или n нечетное

соответственно.

тогда последняя цифра левой части или 3  или 8

но в правой части  k^2  - a все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9

равенство не получается. значит n< 5.

  по условию n – натуральное число. варианты. 1,2,3,4

подставим в   исходное уравнение и найдем пару   (n,k)

при n=2  k=5

остальные значения n не подходят, так как сумма в левой части,

  не является квадратом целого числа.

ответ n=2  k=5

эта известная, и решается, как ни странно, перебором : ))

дело в том, что все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9. это легко показать для первых 10 чисел (то есть цифр: а все последующие лекго представимы как 10*р+m, то есть последняя цифра квадрата равна последней цифре m^2. отсюда следует, что если квадрат натурального числа разделить нацело на 5, то остаток может принимать значения только 0, 1 и 4. в самом деле, если число заканчивается на 0 и 5, то остаток 0, если на 1 или 6 - то 1, если на 4 или 9 - то 4.

отсюда получается, что при n > 5 условие не может быть удовлетворено, поскольку n! делится на 5, и остаток от деления левой части на 5 будет 3. 

осталось перебрать все случаи от 1 до 4. ну и находим единственное решение 

n = 2, k = 5.